Погружение в глубину

Глубина. Плотность. Давление. И сила, которую они создают.

Почему жидкость создаёт давление

У воды есть масса, поэтому Земля притягивает её. Представьте неподвижную воду в открытом сосуде: каждый её слой находится под действием тяжести и взаимодействует с соседними слоями. В результате давление увеличивается при переходе от поверхности в глубину.

Это отличается от добавочного давления, которое в предыдущем уроке создавал поршень. Здесь поршня нет: причина изменения давления с высотой — действие тяжести. Закон Паскаля этому не противоречит. Передача добавочного давления и существующий в жидкости перепад давления — разные вопросы.

Давление показывает, какая сила приходится на единицу площади поверхности: p = F/S, если давление по площадке одинаково. Единица давления — паскаль: 1 Па = 1 Н/м². Один килопаскаль равен 1 000 Па.

Как появляется формула p = ρgh

Выделим вертикальный столб однородной неподвижной жидкости высотой h и площадью основания S. Его объём V = Sh, масса m = ρV = ρSh. Сила тяжести равна mg = ρShg.

Разность сил давления снизу и сверху уравновешивает силу тяжести столба. Поэтому разность давлений на его нижнем и верхнем уровнях равна mg/S. Подставляя массу, получаем:

Δp = ρShg / S = ρgh

Если верхний уровень — свободная поверхность, величина ρgh показывает, насколько давление на глубине h превышает давление над этой поверхностью. На лендинге это названо «давлением столба жидкости».

ρ — плотность жидкости в кг/м³, g — ускорение свободного падения в Н/кг или м/с², h — вертикальная глубина в метрах. При этих единицах ответ получается в паскалях. В опытах для простоты g ≈ 10 Н/кг.

Нулевое показание не означает отсутствие давления

На открытой поверхности воды действует воздух. Обозначим его давление p₀. Тогда полное давление в жидкости на глубине h:

p_полн = p₀ + ρgh

В пульте погружения по умолчанию показан только вклад столба жидкости. Галочка добавляет условное давление воздуха p₀ = 100 кПа. При h = 0 первый показатель равен нулю, а полное давление равно 100 кПа.

Это округлённое значение для учебной задачи. Реальное атмосферное давление зависит от условий. Если над жидкостью находится газ с другим давлением, в формулу нужно подставить именно его давление, а не автоматически 100 кПа.

Глубина и плотность: меняем по одному параметру

При постоянных плотности и g давление столба жидкости прямо пропорционально глубине. Удвоили глубину — удвоили этот вклад. Полное давление при этом обычно не удваивается: слагаемое p₀ остаётся прежним.

При одинаковой глубине более плотная жидкость создаёт большее давление. На пульте выбраны условные плотности: масло 800 кг/м³, пресная вода 1 000 кг/м³, морская вода 1 030 кг/м³. Это не универсальные значения для любой температуры и любого состава.

Пример

На глубине 10 м пресная вода создаёт 1 000 × 10 × 10 = 100 000 Па = 100 кПа. Масло той же глубины — 80 кПа, морская вода — 103 кПа. Различается плотность, глубина одна и та же.

В модели жидкость считается однородной и практически несжимаемой. Плавное погружение датчика — способ менять глубину; это не расчёт ускорения или реального движения подводного аппарата.

Давление со всех сторон

В неподвижной жидкости давление в данной точке не зависит от направления. Вода действует и на дно, и на боковые стенки, и на нижнюю поверхность погружённого предмета. На одной горизонтали в одной связной однородной жидкости давление одинаково.

Само давление — скалярная величина, направления у него нет. Направлена сила давления: она перпендикулярна поверхности, на которую действует жидкость. Если маленькую пластинку повернуть в той же точке, направление силы изменится вместе с её ориентацией, но давление останется тем же.

На интерактивной схеме взята глубина 5 м в пресной воде: вклад её столба равен 50 кПа. Пластинка условно мала, поэтому перепад по её высоте не учитывается. Для большого вертикального предмета давление у нижнего края больше, чем у верхнего.

Форма сосуда и гидростатический парадокс

Возьмём три отдельных открытых сосуда. В них одна и та же жидкость, одинаковая высота её поверхности над дном и одинаковое давление воздуха. Несмотря на разную форму стенок, давление на дно будет одинаковым.

Площадь дна не входит в формулу ρgh. Но она входит в формулу силы: F = pS. Если площади дна тоже одинаковы, одинаковыми будут и силы давления соответствующего столба жидкости на дно. Если площади разные — давление останется одинаковым, а силы будут различаться.

Почему сила на дно иногда не равна весу всей воды? Жидкость взаимодействует также с наклонными стенками. Силы со стороны этих стенок могут иметь вертикальные составляющие. Поэтому нельзя рассматривать только дно и тяжесть, забывая о стенках.

Стенд трёх сосудов

h = 1 м, ρ = 1 000 кг/м³, S = 100 см² = 0,01 м². Давление столба — 10 000 Па, сила на дно, обусловленная этим вкладом, — 10 000 × 0,01 = 100 Н. Масса всей воды может быть разной.

Что удерживает иллюминатор

На стекло давит вода снаружи и воздух изнутри. Чтобы найти результирующую силу, нужно учитывать обе стороны. Для плоской площадки, на которой можно использовать средние давления, получаем:

F = (p_{снаружи} − p_внутри)S = ΔpS

В интерактиве центр окна находится на глубине 20 м в пресной воде. Воздух над водой и внутри аппарата имеет одинаковое давление 100 кПа. Поэтому снаружи 100 + 200 = 300 кПа, а разность — 200 кПа. Именно эту разность умножаем на площадь.

Пример расчёта

S = 400 см² = 0,04 м². F = 200 000 × 0,04 = 8 000 Н. Если увеличить площадь вдвое, сила тоже удвоится, хотя давление не изменится.

Для плоского вертикального окна в однородной жидкости среднее гидростатическое давление равно давлению на глубине его геометрического центра площади. Рисунок круглого иллюминатора — художественная иллюстрация. Расчёт не определяет допустимую толщину стекла, материал, конструкцию креплений или безопасность погружения.

Почему основание плотины массивнее

Чем глубже участок стенки, тем сильнее давит на него жидкость. При глубинах 2, 6 и 10 м вклад столба пресной воды равен 20, 60 и 100 кПа соответственно.

Поэтому нижняя часть плотины испытывает большую нагрузку от воды на такую же площадь, чем верхняя. Массивное основание помогает воспринимать эти нагрузки. Реальную плотину проектируют с учётом формы, материала, основания, устойчивости и других факторов.

На всю высокую стенку нельзя просто умножить давление у самого дна на полную площадь: давление меняется с глубиной. Для плоской прямоугольной вертикальной стенки от поверхности до глубины H средний вклад давления воды равен ρgH/2. Это дополнительный вывод, а не обязательная формула для первых задач.

Если жидкостей несколько

Пусть масло и вода не смешиваются. Масло меньшей плотности образует верхний слой. Чтобы найти давление на дно, пройдём мысленно от поверхности вниз. Сначала прибавляется давление столба масла, затем — давление столба воды.

p − p₀ = ρ_маслаgh_масла + ρ_водыgh_воды

Пример

Масло: ρ = 800 кг/м³, h = 0,5 м. Вода: ρ = 1 000 кг/м³, h = 1 м. Вклады составляют 4 000 Па и 10 000 Па. Всего 14 000 Па = 14 кПа сверх давления над поверхностью.

Нельзя подставлять суммарную высоту двух слоёв и плотность только одного из них. У каждого слоя свои плотность и высота. Если слой исчезает, его вклад равен нулю. Поверхностное натяжение на границе в этом расчёте не учитывается.

Тяжесть газа тоже имеет значение

У газа есть масса, значит, в поле тяжести его давление тоже изменяется с высотой. В небольшом сосуде плотность газа можно приблизительно считать постоянной и оценить перепад той же формулой Δp ≈ ρgh.

При ρ воздуха ≈ 1,2 кг/м³ и разности высот 2 м получаем около 24 Па. Для воды при тех же условиях получилось бы 20 000 Па. Поэтому в задачах о небольших газовых сосудах изменением давления из-за высоты часто пренебрегают.

Такой расчёт нельзя без поправок распространять на всю атмосферу: на больших высотах плотность воздуха существенно меняется. Атмосферное давление будет отдельной темой курса.

Как решать задачи

Сначала уточните, какое давление требуется: только от столба жидкости, полное или разность давлений по сторонам перегородки. Затем обозначьте поверхность, от которой отсчитывается вертикальная глубина.

Переведите величины в СИ. Сантиметры делятся на 100 для получения метров, квадратные сантиметры — на 10 000 для получения квадратных метров. Плотность 1 г/см³ соответствует 1 000 кг/м³.

Найти глубину

Давление столба пресной воды равно 35 кПа. h = p/(ρg) = 35 000/(1 000 × 10) = 3,5 м. Если бы 35 кПа означало полное давление, понадобилось бы знать давление над водой; подставлять его напрямую было бы неверно.

Найти силу

Разность давлений на перегородке 12 кПа, площадь 50 см². Переводим: Δp = 12 000 Па, S = 0,005 м². F = 12 000 × 0,005 = 60 Н.

Ошибки, которые легко избежать

• Путать глубину с длиной наклонного пути. В формуле нужна вертикальная глубина.
• Думать, что в широком сосуде давление всегда больше. При одинаковой жидкости важна высота её столба.
• Считать давление направленной стрелкой. Стрелка изображает силу; давление само по себе направления не имеет.
• Приравнивать полное давление на поверхности к нулю. Нулевым бывает вклад столба жидкости.
• При расчёте окна забывать давление с противоположной стороны.
• Умножать давление в паскалях на площадь в см² без перевода единиц.

Самопроверка с объяснениями

На глубине 4 м какое давление создаёт столб пресной воды?

40 кПа при g ≈ 10 Н/кг. При p₀ = 100 кПа полное давление — 140 кПа.

Воду заменили маслом плотностью 800 кг/м³, глубина та же. Что изменится?

Давление столба уменьшится до 80% прежнего, потому что плотность уменьшилась с 1 000 до 800 кг/м³.

Увеличили площадь дна в три раза, сохранив жидкость и высоту. Что станет с давлением и силой?

Давление не изменится. Сила на дно от того же давления увеличится втрое.

Масло высотой 1 м находится над водой высотой 0,5 м. Найдите вклад двух слоёв.

800 × 10 × 1 + 1 000 × 10 × 0,5 = 13 000 Па = 13 кПа.

Учителю: как провести экспедицию

Начните с прогноза: что должно показать одно и то же устройство у поверхности и глубже? Попросите ученика обосновать ответ тяжестью жидкости, а не только вспомнить формулу.

На пульте проведите две серии: изменяйте глубину при одной жидкости, затем плотность при одной глубине. Включите полное давление и вернитесь на поверхность. Обсудите, почему один показатель равен нулю, а второй — нет.

В опыте с пластинкой отделите давление от силы и направления силы. Затем предложите выбрать сосуд с «наибольшим давлением» до движения ползунка. Ошибочный прогноз полезен для обсуждения роли стенок и отличия массы жидкости от давления на дно.

Задача окна соединяет этот урок с формулой F = pS. Попросите сначала назвать разность давлений, потом переводить площадь и считать силу. Слои жидкостей и среднее давление на высокую стенку подходят для дополнительного обсуждения.

Для закрепления ученики проходят пять ситуаций, объясняя выбор вслух. Можно завершить короткой самостоятельной задачей на глубину. Для обсуждения опытов с отверстиями в бутылке используйте готовую демонстрацию учителя; изготовление и отдельный протокол лабораторной работы в этот сайт не входят.