Насколько точно можно измерить мир?

Здесь объясняются выбор единиц, чтение шкалы прибора, погрешность и запись результата. Текст можно изучать отдельно от интерактивных заданий.

Что именно мы измеряем?

Словами «длинный», «тяжёлый» и «быстрый» удобно делиться впечатлениями. Для сравнения результатов нужны числа. Физическая величина описывает такое свойство тела или явления, которое можно выразить количественно. Длина характеризует протяжённость, масса — одно из свойств тела, время — длительность процесса, объём — занимаемое пространство.

Измерение — это сравнение величины с однородной величиной, выбранной за единицу. Когда длина равна 12 см, в ней укладывается двенадцать отрезков по одному сантиметру. Сравнивают длину с длиной, время со временем, массу с массой.

l = 12 см

l — обозначение длины; 12 — числовое значение; см — единица. Вместе «12 см» — значение длины. Одно число «12» этой информации не содержит.

Зачем нужны общепринятые единицы измерения

Если один человек измерит комнату своими шагами, а другой — своими, результаты могут различаться. Единые меры позволяют сравнивать результаты независимо от человека и места измерения.

В Международной системе единиц — СИ — основными единицами длины, массы и времени служат метр, килограмм и секунда. Единица объёма — кубический метр — производная: она связана с единицей длины.

1 м = 100 см = 1000 мм
1 км = 1000 м · 1 кг = 1000 г
1 мин = 60 с · 1 ч = 3600 с
1 мл = 1 см³ · 1 л = 1000 мл = 0,001 м³

Переводя единицы, мы меняем число в записи, но не саму величину: 0,74 м и 74 см — одна длина. Для площади и объёма нельзя механически использовать множитель длины: например, в 1 м³ помещается 1 000 000 см³.

Прибор, шкала и цена деления

Прибор выбирают под величину и задачу: линейку — для длины, секундомер — для промежутка времени, весы — для массы, измерительный цилиндр — для объёма жидкости.

Шкала — это штрихи и числа, по которым определяют показание. Деление — промежуток между соседними штрихами. Цена деления показывает, какое значение величины соответствует одному такому промежутку.

1. Найди два соседних подписанных штриха.
2. Вычти меньшее значение из большего.
3. Посчитай промежутки между выбранными штрихами.
4. Раздели разность на число промежутков и подпиши единицу.

c = (B − A) / n

Здесь c — цена деления, A и B — значения у выбранных штрихов, n — число промежутков.

Между отметками 20 мл и 40 мл — 10 промежутков.

c = (40 − 20) / 10 = 2 мл

Каждый шаг по шкале означает 2 мл. При этом граничных и внутренних штрихов вместе 11: считать их вместо промежутков — ошибка.

Пределы измерения — наименьшее и наибольшее значения, которые можно измерить прибором. Мелкая шкала полезна, только если прибор подходит по диапазону: короткой линейкой неудобно измерять всю комнату.

Цифровой экран заменяет отсчёт по штрихам, но не делает прибор абсолютно точным. Число знаков на дисплее и точность — разные характеристики.

Как правильно снять показание

Линейка. Совмести начало тела с нулевым штрихом. Край пластика или металла не обязательно совпадает с нулём. Если измерение начинается с другой отметки, из конечного показания вычти начальное.

Левый край предмета находится у 2,0 см, правый — у 9,4 см. Длина равна 9,4 − 2,0 = 7,4 см, а не 9,4 см.

Положение глаз. Смотри перпендикулярно шкале. При взгляде сбоку край тела или указатель кажется смещённым относительно делений — это эффект параллакса.

Мензурка. Поставь её вертикально на ровную поверхность. Для воды в чистой стеклянной мензурке поверхность обычно вогнута. Считывай нижнюю точку мениска, держа глаза на её уровне. Правило нижнего мениска не следует автоматически переносить на любую жидкость.

Секундомер. Заранее определи события начала и конца. Ручное нажатие кнопки добавляет задержку реакции наблюдателя; она может оказаться важнее мелких делений прибора.

Прямое и косвенное измерение

При прямом измерении значение находят непосредственно по показанию прибора. Например, считывают длину линейкой или объём воды по шкале мензурки.

При косвенном измерении искомую величину вычисляют по другим измеренным величинам. Чтобы найти объём прямоугольного бруска, измеряют его длину, ширину и высоту, затем перемножают:

V = a · b · h

Сначала в мензурке было 50 мл воды. После полного погружения металлического тела стало 70 мл.

V_тела = 70 − 50 = 20 мл = 20 см³

Тело должно полностью погрузиться, не растворяться и не впитывать воду. Пузырьки воздуха и пролитая вода искажают результат. Здесь 20 см³ — номинальный результат без отдельного расчёта его погрешности.

Почему измерение не бывает абсолютно точным

Результат может отличаться от истинного значения из-за несовершенства прибора, ограниченной детализации шкалы, способа отсчёта и условий опыта. Погрешность характеризует это отличие. Истинное значение обычно неизвестно, поэтому на практике оценивают, насколько результат может от него отклоняться.

Погрешность не равна грубой ошибке. Перепутать сантиметры с миллиметрами — ошибка, которую нужно исправить. Получить немного разные результаты при аккуратном повторении опыта — обычная ситуация, которую нужно учитывать.

В этом уроке различаем две составляющие:

• Погрешность отсчёта — насколько неопределённо мы считываем положение края или указателя по шкале.
• Инструментальная погрешность — ограничение самого прибора: изготовления, градуировки, настройки. Её значение может быть указано в документации.

Как оценивается погрешность в этом уроке

Для однократного прямого измерения, если нет иных указаний, погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления, инструментальную — тоже половине. Полную абсолютную погрешность оценивают их суммой:

Δa = c/2 + c/2 = c

Поэтому в задачах этого урока используем ± одно деление. Если в условии или документации прибора указана другая погрешность, нужно учитывать эти сведения. Это учебное соглашение курса, а не универсальное правило для всех измерений.

Как записать результат с погрешностью

Для записи используют знак «плюс-минус»:

A = (a ± Δa) · единица

a — полученное значение, Δa — оценка абсолютной погрешности. Они должны быть выражены в одной единице. Запись указывает интервал от a − Δa до a + Δa, в котором ожидается значение при принятой оценке погрешности.

Для одного и того же тела грубая шкала с делением 10 мм даёт округлённый результат 70 мм. По принятому правилу:

l₁ = (70 ± 10) мм

Интервал: 60–80 мм. Более мелкая шкала с делением 1 мм позволяет записать:

l₂ = (74 ± 1) мм

Интервал: 73–75 мм. Он уже, поэтому второе измерение точнее в рассматриваемых условиях. Это не означает, что истинная длина обязательно равна ровно 74 мм.

Единицы и разряды нужно согласовывать: (74 ± 1) мм = (7,4 ± 0,1) см. Не добавляй к результату лишние цифры, которых прибор не позволяет определить.

Зачем повторять измерения

Если повторные результаты немного различаются, на них могут влиять случайные факторы. Сделай несколько измерений одной величины в одинаковых условиях и сравни результаты. При разбросе полезно вычислить среднее арифметическое:

a_ср = (a₁ + a₂ + … + aₙ) / n

Получены 10,2 с, 10,4 с и 10,3 с.

t_ср = 30,9 / 3 = 10,3 с

Это среднее значение трёх измерений. Само усреднение не даёт полного расчёта погрешности.

Повторения помогают уменьшить влияние случайного разброса. Они не устраняют постоянное смещение: если весы каждый раз завышают массу на 5 г, среднее тоже окажется завышено. Сначала проверь прибор и метод измерения.

Проверь понимание

Между 30 и 50 мл — четыре равных промежутка. Какова цена деления?

(50 − 30) : 4 = 5 мл. Единицу обязательно указываем.

На линейке получено 86 мм, цена деления 1 мм. Как записать результат по правилу этого курса?

l = (86 ± 1) мм. Оценочный интервал — от 85 до 87 мм.

Можно ли измерить объём тела неправильной формы линейкой?

Обычно одной линейки недостаточно для простого вычисления. Подойдёт метод вытеснения воды, если тело полностью погружается, не растворяется, не впитывает воду и помещается в сосуд.

Почему пять одинаковых показаний не доказывают абсолютную точность?

Одинаковые результаты могут содержать одно и то же постоянное смещение прибора. Повторяемость и точность — разные свойства измерения.

Учителю: как провести урок

Цель: ученик выбирает прибор, определяет цену деления, различает величину и её единицу, записывает простой результат с погрешностью и объясняет пользу повторных измерений.

1. Начало, 3–4 минуты. Покажите число «12» и попросите объяснить, чего не хватает. Сравните длину предмета в сантиметрах и миллиметрах.
2. Шкала, 8–10 минут. На интерактивном фрагменте меняйте число делений. Пусть ученики объяснят, почему считают промежутки, а не штрихи.
3. Практика, 10–12 минут. Сравните две линейки в задании «Одно тело · две шкалы». Затем по иллюстрации мензурки разберите правило «глаза — на уровне воды».
4. Точность, 8–10 минут. Разберите запись с ± и два интервала. Явно проговорите принятое в этом уроке соглашение о полной погрешности.
5. Завершение, 5 минут. Секундомер показывает роль реакции человека, весы — смысл сравнения с известной мерой. Попросите назвать одну причину погрешности и один способ её уменьшения.

Для самостоятельной работы подойдёт обычная линейка и небольшой предмет с ровными краями. Попросите записать цену деления, результат, единицу, принятую погрешность и интервал. Кнопки 3D пока зарезервированы для будущих материалов. Весь ход урока и задания доступны без них.

Ошибки, на которые стоит обратить внимание

• Считают штрихи вместо промежутков.
• Смешивают цену деления и верхний предел измерения.
• Записывают число без единицы или в разных единицах для результата и погрешности.
• Принимают погрешность отсчёта за всю погрешность, забывая о приборе.
• Смотрят на шкалу под углом или начинают измерение от края линейки вместо нуля.
• Считают, что больше цифр на дисплее или больше повторов автоматически гарантируют правильный результат.