Разгон, торможение, ускорение

Узнаем, как описать изменение скорости, предсказать её значение и понять, что происходит при торможении.

Скорость и ускорение — разные величины

Скорость отвечает на вопрос, как быстро тело движется и в какую сторону. Ускорение описывает, как меняется его скорость с течением времени. Поэтому большая скорость сама по себе не означает большого ускорения.

Представим два автомобиля на прямой. Первый движется со скоростью 24 м/с и сохраняет её. Второй начинает наблюдаемый участок со скоростью 4 м/с и каждую секунду прибавляет 4 м/с. Вначале первый автомобиль быстрее, но разгоняется только второй. У первого ускорение равно нулю, у второго — 4 м/с².

Через 5 с скорость второго станет 24 м/с: 4 + 4 × 5 = 24. Скорости сравняются, но ускорения останутся разными. Это не означает, что автомобили окажутся рядом: для сравнения их положения нужны начальные положения и пройденные пути. В интерактиве полосы показывают именно скорость.

Нулевое ускорение не означает остановку

Тело может покоиться или двигаться с неизменной скоростью по прямой. В обоих случаях его ускорение равно нулю. Нулевая скорость в отдельный момент также не доказывает, что ускорения нет: тело может только начинать разгон.

Постоянное ускорение и равные изменения скорости

В этом уроке рассматриваем движение вдоль прямой. Если за любые равные промежутки времени скорость меняется одинаково, движение называют прямолинейным равноускоренным. Ускорение при таком движении постоянно.

Например, показания скорости через каждую секунду составляют 0, 2, 4, 6 и 8 м/с. Прибавка каждый раз равна 2 м/с. При равномерном торможении последовательность может выглядеть как 8, 6, 4, 2 и 0 м/с: за каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с.

Последовательность 0, 2, 5 и 9 м/с за те же равные промежутки не описывает равноускоренное движение: прибавки равны 2, 3 и 4 м/с. Скорость растёт, но ускорение не остаётся постоянным.

В лаборатории движение шарика по прямой наклонной дорожке может быть близко к равноускоренному. Это нужно проверять наблюдениями и измерениями. Внешний вид дорожки или один снимок не дают достаточного основания утверждать, что ускорение постоянно.

Равномерное и равноускоренное

При равномерном движении постоянна скорость. При равноускоренном — ускорение; при ненулевом ускорении скорость меняется. В опытах постоянство оценивают в пределах точности измерений.

Как рассчитать ускорение

Обозначим начальную скорость через v₀, скорость через время t — через v. Для прямолинейного равноускоренного движения ускорение находят по изменению скорости за рассматриваемое время:

a = (v − v₀) / t

Сначала из конечной скорости вычитают начальную. Затем разность делят на длительность промежутка. В этой формуле t отсчитывается от момента, когда скорость была v₀, и должно быть больше нуля.

Скорость модели равномерно увеличилась с 4 до 16 м/с за 6 с.
Изменение скорости: 16 − 4 = 12 м/с.
Ускорение: a = 12 / 6 = 2 м/с².
Каждую секунду скорость увеличивалась на 2 м/с.

Если забыть вычесть начальную скорость и разделить 16 на 6, получится неверный результат. Формулу a = v/t можно использовать только для разгона из состояния покоя, когда v₀ = 0.

По двум значениям скорости можно найти среднее ускорение за промежуток, учитывая направления. Но без дополнительных условий нельзя заключить, что ускорение всё это время было постоянным. Во всех расчётных интерактивах урока постоянство ускорения принято как условие модели.

Что означает метр на секунду в квадрате

В системе СИ скорость выражают в метрах в секунду, время — в секундах. При делении изменения скорости на время получается единица ускорения: метр на секунду в квадрате, м/с².

(м/с) / с = м/с²

Ускорение 3 м/с² означает, что при рассматриваемом равномерном разгоне скорость за каждую секунду возрастает на 3 м/с. Это не путь в три метра за секунду и не скорость в три метра в секунду.

За 5 с скорость на прямой равномерно выросла с 36 до 72 км/ч.
36 км/ч = 10 м/с; 72 км/ч = 20 м/с.
a = (20 − 10) / 5 = 2 м/с².

Перед подстановкой обе скорости нужно выразить в одинаковых единицах. Чтобы получить ответ в м/с², используйте м/с и секунды. Запись «ускорение 2 м/с» неверна: это единица скорости.

Как предсказать скорость

Если начальная скорость и постоянное ускорение известны, можно определить скорость через заданное время. Из формулы ускорения получаем:

v = v₀ + at

Произведение at показывает изменение скорости за время t. К нему нужно прибавить начальную скорость. При движении в выбранном положительном направлении положительное ускорение увеличивает скорость, отрицательное — уменьшает её до остановки.

Начальная скорость 6 м/с, ускорение 2 м/с², время 4 с.
Изменение скорости: at = 2 × 4 = 8 м/с.
Конечная скорость: v = 6 + 8 = 14 м/с.

В модели разгона на лендинге можно менять v₀, a и t. Таблица показывает скорость в целые секунды, а крупное число — в выбранный момент. При a = 0 скорость остаётся равной v₀. Если одновременно v₀ = 0, модель остаётся в покое.

Прямая пропорциональность v и t получается для разгона из состояния покоя при постоянном ненулевом ускорении. Если начальная скорость не равна нулю, увеличение времени вдвое не означает увеличение самой скорости вдвое: удваивается прибавка at.

Торможение и момент остановки

При торможении ускорение тоже существует: скорость меняется. Пусть тело движется по прямой вперёд, а это направление выбрано положительным. Если скорость равномерно уменьшается, ускорение отрицательно.

Начальная скорость 16 м/с. Каждую секунду она уменьшается на 2 м/с.
Ускорение до остановки: a = −2 м/с².
Через 3 с: v = 16 − 2 × 3 = 10 м/с.
Остановка наступит через 8 с: 16 − 2 × 8 = 0.

В этом примере отрицательное ускорение не означает движение назад. До остановки тело продолжает двигаться вперёд, но всё медленнее. Ускорение направлено против скорости.

Если обозначить величину снижения скорости за секунду через b > 0, то до остановки v = v₀ − bt. Из условия v = 0 находим время торможения: t_ст = v₀/b. При одной начальной скорости более быстрое снижение скорости означает меньшее время до остановки.

После остановки нужно новое условие

Нельзя бездумно продолжать ту же формулу. Она дала бы отрицательные значения, то есть движение в противоположном направлении в выбранной системе отсчёта. В модели торможения урока расчёт заканчивается при v = 0. Что будет дальше, зависит от дальнейших воздействий.

Ползунок заканчивается в момент остановки. Надпись «ускорение до остановки» относится именно к участку торможения. Числа на экране при необходимости округляются до сотых; расчёт ведётся без такого промежуточного округления.

Куда направлено ускорение

Скорость и ускорение — векторные величины: у них есть не только числовые значения, но и направления. Подробные правила работы с векторами изучают позже, а здесь достаточно понять три случая движения вдоль прямой.

• Тело движется вправо и разгоняется: скорость и ускорение направлены вправо.
• Тело движется вправо с постоянной скоростью: ускорение равно нулю, направление нулевого вектора не задают.
• Тело движется вправо и тормозит: скорость направлена вправо, ускорение — влево.

Если выбрать вправо за положительное направление, ускорение при разгоне вправо будет положительным, а при торможении — отрицательным. Именно этот выбор используется в моделях урока.

Знак зависит от выбранного направления

Правило «плюс — разгон, минус — торможение» нельзя без условий переносить на любое движение. В наших примерах тело до остановки движется в положительную сторону. В общем случае разгон соответствует одинаковым направлениям скорости и ускорения, торможение — противоположным.

При движении по кривой направление скорости меняется, поэтому ускорение может быть ненулевым даже при постоянной величине скорости. Такой случай выходит за рамки расчётных моделей этого урока: они описывают прямолинейное движение.

Два графика одного разгона

На графике v(t) горизонтальная ось показывает время, вертикальная — скорость. При постоянном ускорении график скорости является прямой. Его начальная высота соответствует v₀, а наклон связан с ускорением.

В примере v₀ = 0 и a = 2 м/с² получаются точки: 0 с — 0 м/с, 1 с — 2 м/с, 2 с — 4 м/с, 3 с — 6 м/с. Соединённые точки лежат на восходящей прямой. Чем больше положительное ускорение, тем быстрее растёт скорость и тем круче линия при одинаковых масштабах осей.

На графике a(t) вертикальная ось показывает уже ускорение. Для того же разгона a = 2 м/с² всё время, поэтому линия горизонтальна на уровне 2. Это не означает покой: постоянна величина ускорения, а скорость увеличивается.

Сначала прочитай оси

Горизонтальная линия v(t) означает постоянную скорость. Горизонтальная линия a(t) — постоянное ускорение. Если это ускорение ненулевое, скорость меняется. Одинаковая форма линий на разных графиках имеет разный смысл.

При равномерном торможении на прямой, пока тело движется в положительную сторону, график v(t) идёт вниз до нуля. Соответствующий график ускорения до остановки горизонтален и расположен ниже нуля. График описывает зависимость величин, а не форму дороги.

Где заканчивается учебная модель

Движение реального автомобиля, санок или ракеты обычно сложнее одного участка с постоянным ускорением. Воздействия и условия меняются. Например, разгон ракеты может происходить с меняющимся ускорением. Сам факт роста скорости не доказывает равноускоренность.

Модель полезна, когда её условия подходят задаче или приближённо описывают выбранный участок опыта. Для проверки можно измерять скорость через равные промежутки времени и сравнивать её изменения. Одинаковые прибавки в пределах погрешности поддерживают предположение о постоянном ускорении на этом участке.

Решая задачу, сначала установи направление движения, начальную скорость и промежуток времени. Затем проверь, задано ли постоянное ускорение. Согласуй единицы, выбери формулу и оцени смысл результата. При торможении обязательно проверь, не вышло ли время за момент остановки.

Иллюстрации на странице помогают представить явление, но не задают точных скоростей или ускорений изображённых объектов. Числа интерактивных моделей — отдельные учебные условия.

Самопроверка

1. Скорость на прямой выросла с 2 до 14 м/с за 4 с. Ускорение постоянно. Чему оно равно?

a = (14 − 2) / 4 = 3 м/с².

2. Модель стартует из покоя с ускорением 1,5 м/с². Какова скорость через 6 с?

v = 0 + 1,5 × 6 = 9 м/с.

3. При v₀ = 8 м/с и a = 2 м/с² чему равна скорость через 3 с?

v = 8 + 2 × 3 = 14 м/с. Ответ 6 м/с был бы только изменением скорости.

4. Скорость равномерно уменьшилась с 18 до 6 м/с за 4 с. Тело всё время двигалось в положительном направлении. Найди ускорение.

a = (6 − 18) / 4 = −3 м/с². Ускорение направлено против скорости.

5. Можно ли иметь скорость 20 м/с и нулевое ускорение?

Да. Если тело движется по прямой с неизменной скоростью 20 м/с, его ускорение равно нулю.

6. На графике a(t) горизонтальная линия на уровне 3 м/с². Скорость постоянна?

Нет. Постоянно ускорение. При разгоне в выбранном положительном направлении скорость за каждую секунду увеличивается на 3 м/с.

7. Время торможения при v₀ = 12 м/с и a = −3 м/с²?

До остановки: 0 = 12 − 3t, значит t = 4 с. После остановки нужны новые условия движения.

Материал для учителя

Результат урока: ученик различает скорость и ускорение, объясняет смысл единицы м/с², рассчитывает a = (v − v₀)/t и v = v₀ + at, определяет направление ускорения при разгоне и торможении на прямой, читает графики v(t) и a(t).

1. 5 минут — вопрос о двух автомобилях. Один едет быстро с постоянной скоростью, второй разгоняется. Попросите отдельно сравнить скорости и ускорения.
2. 8 минут — равные изменения. В модели разгона начните с v₀ = 0, a = 2 м/с². Проследите показания через каждую секунду. Затем измените начальную скорость, сохранив ускорение.
3. 7 минут — формула и единицы. Рассчитайте ускорение по начальной и конечной скоростям. Обсудите, почему нельзя просто разделить конечную скорость на время.
4. 8 минут — торможение. Доведите модель до остановки. Покажите, что отрицательное ускорение до этого момента не означает движения назад.
5. 7 минут — графики и направления. Переключите v(t) и a(t). Уточните смысл горизонтальной линии. Сопоставьте направления скорости и ускорения.
6. 5 минут — границы модели. Обсудите, почему ракета не обязана двигаться с постоянным ускорением, и сравните последовательности 0, 2, 4, 6 и 0, 2, 5, 9 м/с.
7. 5 минут — самопроверка. Пройдите пять вопросов и попросите объяснить один ответ своими словами.

Типичные ошибки: скорость подменяется ускорением; в a = (v − v₀)/t забывается v₀; знак минус трактуется как обратное движение; единица ускорения записывается как м/с; горизонтальные линии разных графиков имеют якобы один смысл. Исправлять эти ошибки удобно через сопоставление двух показаний или двух графиков одной модели.

Методическое уточнение: расчёты на лендинге относятся к движению по прямой без смены направления. До остановки знак a можно связать с ростом или уменьшением величины скорости при выбранной положительной оси. В общем случае следует обсуждать взаимное направление векторов. Нулевое ускорение означает неизменность вектора скорости, а не только его модуля.

Организация работы: управление моделями ручное, движение фонов отключается кнопкой наверху. Для 3D предусмотрены четыре независимые точки подключения. В окне видео — ролик с опытом. Для подготовки можно распечатать этот текст; ответы самопроверки раскрываются при печати.