Как рассчитать путь и время?

Связь между путём, скоростью и временем

В предыдущем уроке мы находили скорость по пройденному пути и времени: v = s/t. Теперь вопрос можно поставить иначе. Если скорость известна, какой путь будет пройден за заданное время? Или сколько времени потребуется, чтобы пройти известный путь?

Путь, время и скорость связаны. Зная две подходящие величины, можно найти третью. Однако сначала нужно понять, какое движение описано в задаче и за какой промежуток задана скорость.

Для равномерного движения используют постоянную скорость. Для неравномерного движения можно использовать среднюю путевую скорость, но обязательно за тот же промежуток, к которому относятся путь и время.

Что рассчитываем

s — пройденный путь, то есть длина траектории.
t — длительность движения, а не показание часов.
v — модуль скорости при равномерном движении.

Как найти путь

Пусть тело равномерно движется со скоростью 2 м/с. За одну секунду оно проходит 2 м, за две — 4 м, за десять — 20 м. Каждый одинаковый промежуток времени добавляет одинаковую длину пути.

Чтобы найти путь при равномерном движении, скорость умножают на время.

s = vt

Тело движется равномерно со скоростью 2 м/с в течение минуты. Сначала переводим время: 1 мин = 60 с. Затем находим путь:
s = 2 м/с × 60 с = 120 м.

В единицах произведения секунды сокращаются, остаются метры. Это помогает проверить правильность выбранного действия.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени: вдвое больше времени — вдвое больший путь; втрое больше времени — втрое больший путь. При фиксированном времени путь также прямо пропорционален скорости.

Начало отсчёта пути можно выбрать в момент старта. Тогда при t = 0 пройденный путь равен нулю. Если тело возвращается к старту, суммарный путь не исчезает: учитываются все пройденные участки.

Как найти время

Если известны путь и постоянная ненулевая скорость, время находят делением пути на скорость.

t = s / v

Смысл деления понятен на примере. Если кабина за секунду проходит 4 м, то для прохождения 2400 м нужно столько секунд, сколько раз 4 м укладываются в 2400 м.

Путь вдоль каната — 2400 м, скорость — 4 м/с. Остановок нет, скорость постоянна.
t = 2400 м / (4 м/с) = 600 с.
600 с = 10 мин.
Ответ: подъём занимает 10 минут.

Для одного и того же пути увеличение постоянной скорости вдвое уменьшает время вдвое. Это обратная пропорциональность. При одной и той же скорости увеличение пути вдвое увеличивает время вдвое.

Скорость равна нулю

При нулевой скорости тело неподвижно относительно выбранного тела отсчёта. Положительный путь оно не пройдёт, пока это условие сохраняется. В формулу t = s/v нельзя подставлять v = 0: деление на ноль не определено. Это не означает «время равно нулю».

Единицы и десятичные части часа

Единицы должны быть согласованы. Если скорость дана в метрах в секунду, а время — в секундах, путь получится в метрах. При скорости в километрах в час и времени в часах путь получится в километрах.

Запись «60 км/ч × 30 мин = 1800 км» неверна: минуты без перевода подставлены вместо часов. Правильно: 30 мин = 0,5 ч, затем s = 60 × 0,5 = 30 км.

1 ч = 60 мин = 3600 с

Десятичная часть часа — доля от шестидесяти минут. Поэтому 0,5 ч — 30 мин, а не 50 мин. Четверть часа, 0,25 ч, составляет 15 мин. Три четверти часа, 0,75 ч, — 45 мин. Полтора часа — 90 мин, то есть 1 ч 30 мин.

На путь 90 км при средней скорости 60 км/ч требуется:
t = 90 / 60 = 1,5 ч.
Целая часть — 1 час. Дробная часть: 0,5 × 60 = 30 минут.
Ответ: 1 час 30 минут.

При переводе минут в часы делят на 60. Если результат неудобный, можно сохранить дробь и выполнить вычисление без преждевременного округления. Например, 20 мин = 1/3 ч. При скорости 60 км/ч за это время получится ровно 20 км.

Если скорость меняется

В реальном походе или поездке движение редко бывает строго равномерным. Но если известна средняя путевая скорость за нужный промежуток, общий путь и полное время по-прежнему связаны формулами:

s = v_срt
t = s / v_ср, если v_ср > 0

Средняя скорость определяется как весь путь, делённый на всё время выбранного промежутка. Поэтому эти формулы не предполагают, что каждую минуту тело двигалось одинаково.

Средняя скорость за весь двухчасовой поход, включая привал, равна 4 км/ч. Общий путь: s = 4 × 2 = 8 км. Дополнительно вычитать время привала из двух часов нельзя: оно уже учтено в заданной средней скорости.

Если же известна средняя скорость только во время ходьбы, в произведение нужно подставить именно время ходьбы. Нельзя брать скорость за один промежуток, а время за другой.

Одного мгновенного показания спидометра для расчёта всего пути обычно недостаточно. Оно подходит, если известно, что такая скорость сохранялась всё рассматриваемое время, или если она обоснованно представляет среднюю скорость за него.

График пути от времени

Одно движение можно описать словами, формулой, таблицей и графиком. На графике s(t) по горизонтальной оси откладывают время, а по вертикальной — пройденный путь.

Пусть скорость постоянна и равна 60 км/ч. При отсчёте пути от старта за 0, 1, 2, 3 и 4 часа будут пройдены 0, 60, 120, 180 и 240 км. Точки с этими координатами лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.

Найди на горизонтальной оси 2 часа. Поднимись до линии графика, затем мысленно проведи горизонталь к оси пути. Получится 120 км. В интерактиве это показывают светлая точка и пунктирные направляющие.

При одинаковом масштабе осей более крутой график пути соответствует большей скорости: за то же время проходит больший путь. В сравнении важно сохранить единицы и масштаб. Наклон линий на двух по-разному растянутых рисунках напрямую сравнивать нельзя.

График — не рисунок дороги

Наклонная прямая s(t) не означает подъём в гору. Она показывает, как увеличивается путь с течением времени. Прямолинейность графика также не доказывает, что сама траектория прямая.

Суммарный пройденный путь с течением времени не убывает. Во время остановки он не меняется, и участок графика пути горизонтален. Обратный ход по маршруту увеличивает суммарный путь, а не уменьшает его.

График скорости от времени

На графике v(t) вертикальная ось показывает скорость, а горизонтальная — время. Это другой график, даже если он описывает ту же поездку.

При равномерном движении числовое значение скорости постоянно. Например, скорость 60 км/ч и через час, и через два, и через четыре часа остаётся равной 60 км/ч. Поэтому график скорости — горизонтальная прямая на соответствующей высоте.

Горизонтальная линия выше нулевого уровня на графике v(t) означает постоянную положительную скорость. Тело движется. На графике s(t) горизонтальный участок означал бы, что путь не увеличивается, то есть тело стоит. Перед чтением графика всегда проверяй названия осей.

В переключателе на лендинге оба графика связаны с одной моделью. Изменение скорости меняет наклон линии s(t) и высоту горизонтальной линии v(t). Дополнительная пунктирная линия соответствует скорости 40 км/ч.

Число на графике и точность

На учебном графике модель задана точно. При считывании экспериментального графика точность ограничена масштабом, толщиной линии и погрешностями исходных измерений.

Расчёт времени отправления

Формула t = s/v даёт длительность дороги. Чтобы узнать, когда выходить, нужен ещё момент прибытия или отправления на часах.

До вокзала 12 км. Заданная средняя скорость за весь путь до него — 24 км/ч. Поезд отправляется в 09:00. Требуется прийти на 15 минут раньше.
Время дороги: t = 12 / 24 = 0,5 ч = 30 мин.
К моменту отправления нужен запас 15 мин.
Время выхода: 09:00 − 30 мин − 15 мин = 08:15.

В этой задаче 30 минут — длительность, а 08:15 — момент на часах. Нельзя считать их одной и той же величиной. Если расчёт приводит к отрицательному числу минут от полуночи, выходить нужно накануне. Например, отправление в 00:15 при 45 мин дороги и запаса означает выход в 23:30 предыдущего дня.

Средняя скорость в модели уже относится ко всему пути до вокзала. Запас времени на самом вокзале добавляется отдельно и не входит в этот путь. Если в условии был бы ещё отдельный неучтённый промежуток ожидания, его тоже пришлось бы добавить ко времени до отправления.

Это расчёт по принятым условиям, а не точный прогноз реальной поездки. Для практического планирования среднюю скорость нужно оценивать по подходящим данным, а изменения условий учитывать запасом времени.

Как решать задачу последовательно

1. Выдели неизвестное. Нужен путь, длительность движения или момент выхода?
2. Запиши данные. Укажи единицы рядом с каждым числом. Различай постоянную, среднюю и мгновенную скорость.
3. Согласуй единицы. Например, переведи минуты в часы, если скорость дана в км/ч.
4. Выбери формулу. Для пути s = vt; для времени t = s/v. При неравномерном движении используй среднюю скорость за тот же промежуток.
5. Посчитай и проверь смысл. Больший путь при той же скорости требует большего времени. При большей скорости тот же путь занимает меньше времени.
6. Запиши понятный ответ. Например, 1 ч 30 мин вместо неоднозначного «1,5», без единиц.

Проверка единиц помогает найти ошибку ещё до вычисления. Произведение км/ч и часов даёт километры. Отношение метров к м/с даёт секунды. Если нужная единица не получается, проверь действие и исходные переводы.

Учитывай условия применимости. Не нужно использовать мгновенную скорость в начале поездки для всего маршрута, если затем она менялась. Не надо вычитать остановку дважды, если её время уже включено в среднюю скорость.

Самопроверка

1. Модель движется равномерно со скоростью 1,5 м/с в течение 80 с. Какой путь пройден?

s = 1,5 × 80 = 120 м. Единицы согласованы: м/с × с = м.

2. Поездка длиной 150 км проходит со средней скоростью 75 км/ч. Сколько она длится?

t = 150 / 75 = 2 ч. Средняя скорость должна относиться к той же поездке.

3. Какой путь получится за 45 минут при постоянной скорости 40 км/ч?

45 мин = 0,75 ч. Путь s = 40 × 0,75 = 30 км.

4. На графике пути за 3 часа пройдено 180 км; движение равномерное. Что будет через 4 часа от старта?

Скорость 180 / 3 = 60 км/ч. Через 4 ч суммарный путь 240 км.

5. Горизонтальная линия v(t) проходит на уровне 20 км/ч. Тело стоит?

Нет. Оно движется с постоянной скоростью 20 км/ч. На вертикальной оси этого графика указана скорость, а не путь.

6. Отправление в 10:00, дорога 40 минут, запас 20 минут. Когда выходить?

10:00 − 40 мин − 20 мин = 09:00.

7. Можно ли найти время прохождения положительного пути при постоянно нулевой скорости?

Тело такой путь не пройдёт, пока скорость остаётся нулевой. Формула t = s/v при v = 0 не определена.

Материал для учителя

Планируемые результаты: ученик рассчитывает путь и время, согласует единицы, переводит доли часа в минуты, различает графики s(t) и v(t), использует среднюю скорость за правильный промежуток и отличает длительность от момента времени.

1. 5 минут — постановка задачи. «Скорость известна. Что можно предсказать?» Свяжите тему с планированием поездки.
2. 8 минут — путь. В модели меняйте время при одной скорости, затем скорость при одном времени. Сформулируйте прямую пропорциональность.
3. 7 минут — время. Рассчитайте подъём кабины. Увеличьте скорость вдвое. Отдельно разберите нулевую скорость.
4. 7 минут — единицы. Сравните 0,5 ч и 50 мин. Пусть ученики пояснят, почему долю часа умножают на 60.
5. 8 минут — графики. Переключите путь и скорость для одной поездки. Сравните значение горизонтальной линии на двух графиках. Включите вторую скорость, сохраняя масштаб.
6. 5 минут — отправление. Рассчитайте выход к поезду с запасом. Назовите отдельно длительности и моменты.
7. 5 минут — самопроверка. Пять вопросов на лендинге и объяснение одного ответа своими словами.

Диагностика ошибок: если ученик делит вместо умножения, вернитесь к пути за одну секунду; если путает графики, попросите назвать вертикальную ось; если записывает 0,5 ч как 50 мин, переведите сначала четверть и половину часа; если исключает привал из полного времени, уточните определение заданной средней скорости.

Границы моделей: движение по линейной шкале и подъём кабины считаются равномерными. Иллюстрации не являются картами или источниками измерений. В модели отправления средняя скорость до вокзала задана заранее. 3D-сцены будут подключены отдельно.

Методическая тонкость: путь не равен расстоянию по прямой между начальной и конечной точками. Из одного значения пути нельзя в общем случае определить положение тела без информации о траектории и направлении движения. Крутизну графиков сравнивают только при одинаковом масштабе осей.