Работа и мощность

Когда сила совершает работу, почему важен её знак и как сравнить быстроту выполнения одной задачи.

Сила, работа и время

Подъёмник перемещает ящик на верхний этаж. Чтобы описать этот процесс, недостаточно знать только массу груза или силу натяжения каната. Важны также высота подъёма и время. Работа связывает силу с перемещением, а мощность показывает быстроту совершения работы.

В повседневной речи работой называют самые разные занятия: чтение, решение задачи, перенос вещей. Механическая работа — определённая физическая величина. Нельзя установить её по ощущению усталости: нужно назвать тело, действующую на него силу и перемещение.

Этот урок опирается на понятия силы, массы, пути и времени. К концу темы нужно уметь определять знак работы, считать работу постоянной силы в простых случаях, находить среднюю мощность и согласовывать единицы.

Когда сила совершает работу

Если постоянная сила направлена так же, как прямолинейное движение тела, её работа равна произведению силы на пройденный путь:

A = Fs.

Здесь A — работа, F — сила, s — путь. В этом случае работа положительна. Например, при равномерном вертикальном подъёме работа поднимающей силы положительна.

Если тело не переместилось, работа силы над ним равна нулю. Так происходит, когда человек неподвижно держит ящик. Сила рук существует и уравновешивает тяжесть, но перемещения нет.

Если рассматриваемая сила равна нулю, её работа тоже равна нулю. Однако само по себе движение не доказывает наличие ненулевой работы: тело может продолжать движение по инерции.

Формулу A = Fs нельзя без изменений использовать при любом направлении силы. В следующем разделе разберём три основных случая.

Положительная, отрицательная и нулевая работа

По движению. Если постоянная сила направлена по перемещению, её работа положительна: A = Fs. Например, тяга каната при подъёме груза.

Против движения. Если сила направлена противоположно перемещению, её работа отрицательна: A = −Fs. Такова работа силы трения скольжения для ящика, который скользит по неподвижному полу, или работа силы тяжести при подъёме.

Перпендикулярно движению. В этом случае работа силы равна нулю. При строго горизонтальном переносе ящика сила тяжести направлена вертикально вниз. Она не совершает работы над ящиком. Реальные колебания при ходьбе в этой идеализации не учитываются.

Отрицательная работа — не «работа, которой нет». Её знак сообщает о взаимном направлении силы и перемещения. Для произвольного угла между ними существует более общая формула; в этом уроке достаточно трёх описанных случаев.

Пример: тележка

Тележка прошла 6 м. Постоянная сила тяги 80 Н направлена по движению: её работа равна 80 × 6 = 480 Дж. Если сила сопротивления равна 20 Н и направлена противоположно, её работа равна −20 × 6 = −120 Дж.

Почему нужно называть конкретную силу

На одно тело обычно действует несколько сил. У каждой может быть своя работа. Поэтому вопрос «Какую работу совершили над грузом?» желательно уточнить: какую силу рассматриваем?

При равномерном вертикальном подъёме сила натяжения каната направлена вверх, а тяжесть — вниз. Их величины равны. Работа натяжения положительна, работа тяжести отрицательна, а сумма этих работ равна нулю.

Нулевая сумма не означает, что двигатель не выполняет полезную задачу. Груз поднят, и положительная работа поднимающей силы имеет вполне определённую величину. Сумма работ всех сил и работа одной силы — разные вопросы.

Направление одной отдельной силы также не определяет направление движения. Предмет может двигаться вверх, когда действующая на него сила тяжести направлена вниз. Нельзя разворачивать стрелку скорости только потому, что выбрана противоположно направленная сила.

Джоуль и единицы работы

В Международной системе единиц работа измеряется в джоулях, обозначение — Дж. Один джоуль равен работе силы 1 Н на пути 1 м, если сила направлена по движению:

1 Дж = 1 Н · м.

Для больших и малых значений используют приставки: 1 кДж = 1 000 Дж; 1 МДж = 1 000 000 Дж; 1 мДж = 0,001 Дж. Регистр буквы важен: МДж и мДж различаются в миллиард раз.

В формулу с результатом в джоулях нужно подставлять силу в ньютонах, путь в метрах. Например, 25 см = 0,25 м. Масса в килограммах сама по себе не является силой.

Короткий расчёт

Сила 40 Н переместила тело на 25 см по своему направлению. Работа: 40 × 0,25 = 10 Дж. Если забыть перевести сантиметры, получится ошибочный ответ, завышенный в сто раз.

Работа при равномерном подъёме

Пусть груз массой m поднимают вертикально с постоянной скоростью на высоту h. Если сопротивлением воздуха пренебречь, поднимающая сила равна силе тяжести: F = mg. Её работа:

A = mgh.

Здесь g ≈ 10 Н/кг для приближённых расчётов у поверхности Земли. Массу берём в килограммах, высоту в метрах. При удвоении массы или высоты работа удваивается.

Важно условие равномерного подъёма. При разгоне поднимающая сила может отличаться от mg. Работа силы тяжести при подъёме на высоту h по-прежнему равна −mgh, но работу каната в общем случае нельзя автоматически приравнять к mgh.

Подъём груза

Ящик массой 120 кг поднят равномерно на 4 м. Поднимающая сила примерно 120 × 10 = 1 200 Н. Её работа: 1 200 × 4 = 4 800 Дж, или 4,8 кДж.

Мощность: работа за единицу времени

Два механизма могут выполнить одинаковую работу за разное время. Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за который она совершена:

N = A / t.

Чем больше работа при одинаковом времени, тем больше средняя мощность. Чем меньше время выполнения одной и той же работы, тем больше мощность. Сравнивать только время нельзя, если объём выполненной работы различается.

В этом уроке латинская буква N обозначает мощность. Не путайте её с русским обозначением единицы силы Н — ньютон. Мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 Дж/с. Также 1 кВт = 1 000 Вт, 1 МВт = 1 000 000 Вт, 1 мВт = 0,001 Вт.

Иногда мощность указывают в лошадиных силах. Метрическая лошадиная сила составляет примерно 735,5 Вт. Для расчётов в СИ это значение переводят в ватты.

Если мощность во время процесса меняется, отношение полной работы ко всему времени всё равно даёт среднюю мощность. Оно не утверждает, что каждую секунду механизм работал одинаково.

Два подъёмника

Каждый поднимает 80 кг на 5 м. Работа каждого равна 80 × 10 × 5 = 4 000 Дж. Первый справляется за 8 с: 4 000 / 8 = 500 Вт. Второй за 16 с: 4 000 / 16 = 250 Вт. Первый вдвое мощнее, хотя работа одна и та же.

Как находить работу, мощность и время

Из определения мощности следуют связанные выражения:

N = A/t; A = Nt; t = A/N.

В двух последних выражениях N — постоянная или средняя мощность за рассматриваемое время. Для вычисления в джоулях используйте ватты и секунды. Минуты нужно умножать на 60, часы — на 3 600.

Работа привода

Полезная мощность привода 0,4 кВт, время работы 1,5 мин. Переводим: 400 Вт и 90 с. Работа равна 400 × 90 = 36 000 Дж, или 36 кДж.

Время подъёма

Для работы 4 800 Дж используется механизм со средней полезной мощностью 400 Вт. Время равно 4 800 / 400 = 12 с.

Удобный порядок решения: назвать искомую величину, выбрать формулу, согласовать единицы, подставить значения, оценить смысл результата. Более мощный механизм при той же работе должен дать меньшее время.

Человек на лестнице и ощущение усталости

Если человек поднимается по лестнице, можно оценить работу против силы тяжести через массу и вертикальную высоту подъёма. Длина наклонного пути по ступеням и вертикальная высота — разные величины. В выражении mgh нужна именно высота.

Для человека массой 60 кг и высоты 3 м работа против тяжести составляет около 60 × 10 × 3 = 1 800 Дж. За 12 с средняя мощность такого подъёма равна 150 Вт, за 6 с — 300 Вт. Работа против тяжести осталась прежней.

Эта оценка не определяет всю энергию, которую израсходовал организм. Мышцы работают и внутри тела, выделяется тепло, ноги и руки совершают дополнительные движения. Поэтому неподвижное удержание тяжести может утомлять, хотя работа силы рук над неподвижным предметом равна нулю.

Пример предназначен для расчёта, а не для соревнования на пределе возможностей. При практическом измерении можно использовать обычный спокойный подъём и отдельно обсудить погрешности высоты и времени.

Как выбрать достаточную мощность

Заказ: равномерно поднять груз 180 кг на 8 м не дольше чем за 30 с. Нужная работа — 180 × 10 × 8 = 14 400 Дж. Минимальная средняя полезная мощность равна 14 400 / 30 = 480 Вт.

Из приводов 250, 400 и 600 Вт по этому условию подходит 600 Вт. Расчётное время для него — 24 с. Для 400 Вт оно равно 36 с, а для 250 Вт — 57,6 с.

В условии указаны полезные механические мощности. Электрическая мощность, потребляемая из сети, может быть больше полезной: часть энергии преобразуется в тепло и расходуется в механизме. Нельзя без дополнительных данных подставлять потребление из паспорта в расчёт полезной работы.

Достаточная мощность не гарантирует, что реальное устройство выдержит заданный груз. Нужны также сведения о допустимой нагрузке, режиме работы, скорости, прочности каната и других характеристиках. Учебная задача выделяет только одну сторону выбора.

Самопроверка с объяснениями

1. Ящик неподвижно стоит на весу. Совершает ли сила рук механическую работу над ящиком?
2. Сила 75 Н действует по движению на пути 2 м. Найдите работу.
3. При подъёме груза куда направлена сила тяжести и каков знак её работы?
4. Работа 3 кДж совершена за 15 с. Найдите мощность.
5. Одинаковую работу выполнили за 10 и 25 с. Во сколько раз различаются мощности?
6. Груз 50 кг равномерно подняли на 4 м за 8 с. Найдите работу и среднюю полезную мощность.

Проверить решения

1. Нет: перемещение равно нулю. 2. 75 × 2 = 150 Дж. 3. Тяжесть направлена вниз, работа отрицательна. 4. 3 000 / 15 = 200 Вт. 5. Первый механизм в 25 / 10 = 2,5 раза мощнее. 6. A = 50 × 10 × 4 = 2 000 Дж; N = 2 000 / 8 = 250 Вт.

Типичные ошибки

• «Есть сила — значит, есть работа». Проверьте перемещение и направление силы. При удержании на месте работа нулевая.
• «Нулевая работа — человек не тратит энергию». Работа силы над внешним предметом не описывает все процессы в мышцах.
• «Умножу массу на путь». В формуле A = Fs участвует сила. Для равномерного вертикального подъёма сначала используют F = mg.
• «Ватты показывают, насколько велика сила». Ватты характеризуют быстроту совершения работы; силу измеряют в ньютонах.
• «Быстрее — значит, больше работа». При одинаковом грузе и высоте меняется мощность, а работа против тяжести остаётся прежней.
• «Можно подставить минуты вместе с джоулями и получить ватты». Для ватт нужно время в секундах.
• «При равномерном подъёме никто не работает: силы равны». Сумма работ может быть нулевой, хотя работа каждой силы по отдельности ненулевая.

Методические заметки для учителя

Цели: отличать житейскую работу от механической, называть выбранную силу, определять знак её работы; применять A = Fs и A = mgh с оговорёнными условиями; сравнивать механизмы по средней мощности.

Маршрут: начать с неподвижного удержания ящика, собрать прогнозы и объяснения. Затем сравнить подъём и горизонтальный перенос. В лаборатории направления менять только один параметр за раз. В опыте с подъёмниками удерживать одинаковыми массу и высоту, варьируя время. Закончить самостоятельным выбором двигателя и самопроверкой.

Тема объединяет два связанных понятия. Её можно пройти за два занятия: первое — условия и знак работы, единицы и подъём; второе — мощность, сравнение механизмов и задачи. При одном занятии часть вычислений и подробный текст удобно оставить для подготовки.

Вопросы для обсуждения: почему руки устают без перемещения ящика; почему тяжесть работает отрицательно при подъёме; почему два механизма с разной мощностью могут выполнить одинаковую работу; каких данных не хватает, если известна только мощность двигателя?

Критерий понимания: ученик не только получает число, но и называет силу, обосновывает знак, переводит единицы и объясняет влияние изменения времени. Угаданный ответ без объяснения не подтверждает освоение.

Поддержка: дать рисунки стрелок и готовые значения силы, начать с целых чисел. Усложнение: сравнить работу натяжения и тяжести, найти требуемое время для нескольких мощностей и обсудить различие полезной и потребляемой мощности. Общая формула работы при произвольном угле для основной цели не нужна.

Границы учебных моделей

В лаборатории работы рассматривается одна постоянная сила и прямолинейное движение. Другие силы не изображены. Положение ящика отмечает конец выбранного пути; переключатель направления силы не рассчитывает траекторию тела.

В стенде подъёмников грузы поднимаются равномерно на одинаковую высоту. Разгон, торможение, масса каната и потери не учитываются; g ≈ 10 Н/кг. Воспроизведение идёт в четыре раза быстрее модельного времени, которое подписано отдельно. При выключенном движении показывается итог, промежуточные состояния доступны ползунком.

Изображения созданы с помощью ИИ. Они служат художественными иллюстрациями и не являются техническими чертежами или документальной съёмкой. Размеры и пропорции схем условны; численные расчёты заданы отдельно.

Пять мест для 3D подготовлены для будущих сцен. Пока сцены не подключены, кнопки открывают превью и ссылку на подробное объяснение. Самих трёхмерных моделей в этом уроке нет.