Корабли и аэростаты

Один закон — две среды. От формы корпуса и осадки до расчёта полезного груза воздушного шара.

Один закон в двух средах

Сталь плотнее воды, но корабль из стали может перевозить тяжёлые грузы. Воздух почти не ощущается кожей, но огромная оболочка с лёгким газом способна поднять корзину с людьми. Оба явления объясняются выталкивающей силой.

На тело в жидкости или газе действует сила Архимеда. Её величина равна весу вытесненной среды: F_А = ρ_средыgV_погр. Здесь ρ — плотность среды, g — ускорение свободного падения, V_погр — объём части тела, находящейся в этой среде. Для аэростата в воздухе это практически весь внешний объём оболочки.

В этом уроке нужны знания о плотности, массе, объёме и условиях плавания. Основная задача — научиться считать всю систему целиком: у корабля учитывать корпус и груз, у аэростата — ещё и газ внутри.

Почему плавает металлический корпус

Плотность вещества корпуса и средняя плотность судна — разные величины. Маленький сплошной кусок стали вытесняет небольшой объём воды. При полном погружении его тяжесть больше силы Архимеда, и он начинает тонуть.

Из тонкого металла можно сделать полый корпус. Его внешний объём будет намного больше объёма самого металла. Пока внутрь не поступает вода, такой корпус способен вытеснить воду значительной массы. Судно погружается ровно настолько, чтобы выталкивающая сила уравновесила общую силу тяжести.

Воздух внутри не создаёт особой дополнительной силы, удерживающей корабль. Важна полость, которая позволяет получить большой внешний объём при сравнительно небольшой массе. Если вода заполняет внутреннее пространство, меняются масса системы и объём, из которого исключена вода. Плавучесть может быть потеряна.

Опыт с фольгой иллюстрирует эту идею: компактный комок и широкая лодочка из одинаковой массы фольги ведут себя по-разному. Результат зависит и от герметичности лодочки, и от того, попала ли вода через край. Для маленьких предметов может быть заметно поверхностное натяжение; в расчётах судна им пренебрегают.

Что именно должно уравновеситься

Рассмотрим судно, которое спокойно плавает и не опирается на дно. Суммарная вертикальная сила равна нулю:

ρ_водыgV_погр = m_общg.

После сокращения g получается ρ_водыV_погр = m_общ. Левая часть — масса вытесненной воды. Значит, её масса равна массе судна вместе с людьми, оборудованием, запасами и грузом.

Это не означает, что плотность стали стала равна плотности воды. Речь идёт о равенстве масс всей системы и вытесненной среды. На движущемся или качающемся судне мгновенные силы могут отличаться; здесь мы рассматриваем установившееся спокойное плавание.

Осадка, ватерлиния и запас борта

Осадка — глубина погружения судна, обычно измеряемая по вертикали от поверхности воды до нижней точки корпуса. Когда общая масса растёт, нужно вытеснить больше воды, и осадка увеличивается.

Ватерлиния — линия пересечения поверхности спокойной воды с корпусом. Её положение меняется при загрузке. На борту также наносят грузовые марки: они обозначают допустимое погружение для определённых условий. В лаборатории урока используется одна красная отметка предельной осадки.

Судно нельзя загружать до самого края борта. Необходим запас на волны, крен и другие условия плавания. Превышение заданной отметки не означает мгновенного исчезновения силы Архимеда или обязательного немедленного затопления на идеально спокойной воде. Оно означает выход за допустимые условия загрузки.

В модели баржа имеет прямоугольную подводную часть. Для неё V_погр = LBh, где L — длина, B — ширина, h — осадка. У настоящего судна форма сложнее, и зависимость объёма от осадки определяют для конкретного корпуса.

Водоизмещение и грузоподъёмность

Слово «водоизмещение» связано с количеством вытесненной воды. В этом уроке мы различаем объёмное водоизмещение, измеряемое в м³, и массовое водоизмещение, измеряемое в килограммах или тоннах. Массовое водоизмещение при плавании равно общей массе судна. Если величина дана в ньютонах, это уже весовое выражение — соответствующая сила.

Грузоподъёмность в нашей учебной модели — предельная масса добавляемого груза при заданной допустимой осадке. Чтобы её найти, из массы воды, вытесняемой при предельной осадке, вычитают массу судна и всего, что уже учтено на нём. В реальных характеристиках важно отдельно уточнять, включены ли топливо, запасы и экипаж.

Пример: загрузка баржи

Площадь горизонтального сечения прямоугольной баржи 20 × 5 = 100 м². Допустимая осадка 1,80 м. Значит, предельный погружённый объём равен 100 × 1,80 = 180 м³. В пресной воде это 180 т вытесненной воды. Если пустая баржа имеет массу 40 т, на добавляемый груз остаётся 180 − 40 = 140 т.

При грузе 60 т общая масса составляет 100 т. Необходимый объём — 100 м³, а осадка — 100 / 100 = 1,00 м.

Почему в море судно погружено меньше

Плотность солёной воды обычно больше плотности пресной. Если масса судна не меняется, масса вытесненной воды тоже остаётся прежней. Но более плотной воде соответствует меньший объём:

V_погр = m_общ / ρ_воды.

Поэтому одно и то же судно с тем же грузом погружается в морскую воду меньше. При переходе из моря в реку осадка увеличивается.

Пример: те же 100 т

В пресной воде плотностью 1 т/м³ нужно вытеснить 100 м³. В воде плотностью 1,03 т/м³ достаточно 100 / 1,03 ≈ 97,09 м³. Для нашей баржи это осадка около 0,97 м вместо 1,00 м. Разница небольшая, но для грузового судна существенная.

Значение 1030 кг/м³ выбрано для опыта. Плотность природной воды зависит от солёности и температуры. Нельзя считать её одинаковой для любого моря.

Аэростат: оболочка и окружающий воздух

Аэростат — летательный аппарат, основную поддерживающую силу которому даёт вытесненный воздух. Оболочка создаёт большой внешний объём и заполнена газом, средняя плотность которого ниже плотности окружающего воздуха.

В тепловом аэростате внутри находится нагретый воздух. Оболочка открыта снизу, поэтому давление внутри близко к наружному. При нагревании воздух расширяется, часть его выходит; в том же объёме остаётся меньшая масса. Это не герметичный сосуд с неизменной массой газа.

В газовом аэростате используют газ легче воздуха, например гелий. При расчёте нельзя забывать массу этого газа: «легче воздуха» не означает «невесомый». Масса оболочки, корзины, оборудования и полезного груза также входит в общую массу.

На уровне этой темы достаточно сравнить две вертикальные силы. Для начала подъёма из состояния покоя нужна сила Архимеда больше общей силы тяжести; для равновесия они должны быть равны.

Как рассчитать допустимую массу полезного груза

Пусть внешняя плотность воздуха равна ρ_нар, плотность газа внутри — ρ_газ, а объём оболочки — V. Тогда сила Архимеда равна ρ_нарgV, а масса газа — ρ_газV.

Предельная масса полезного груза для равновесия:

m_груз = (ρ_нар − ρ_газ)V − m_{обол+обор}.

В этом выражении m_{обол+обор} включает всё, что уже есть у аэростата кроме газа и полезного груза. Если результат отрицательный, аэростат с выбранными параметрами не поднимет даже собственную оболочку и оборудование. Если результат равен нулю, для груза запаса нет.

Подъёмная сила для полезного груза в принятом здесь смысле — остаток силы Архимеда после вычитания тяжести газа, оболочки и оборудования. Её измеряют в ньютонах. Соответствующую предельную массу груза получают делением на g. Не путай эти величины.

Пример: оболочка объёмом 1000 м³

Наружный воздух имеет плотность 1,20 кг/м³. Масса вытесненного воздуха — 1200 кг, сила Архимеда при g = 10 Н/кг — 12 000 Н. Гелий плотностью 0,18 кг/м³ имеет массу 180 кг. Оболочка и оборудование имеют массу 200 кг. Для равновесия остаётся 820 кг полезного груза. Соответствующий силовой запас — 8200 Н.

При грузе ровно 820 кг силы равны. Чтобы аэростат начал подниматься из покоя, груз должен быть меньше этого значения. Это учебный расчёт, а не инструкция для реального полёта.

Как управляют подъёмом и спуском

В тепловом аэростате увеличение нагрева уменьшает плотность воздуха внутри и, при почти неизменном объёме, его массу. Выталкивающая сила при прежнем наружном воздухе и том же объёме практически не меняется. Меняется общая сила тяжести, которую нужно уравновесить.

Остывание воздуха или выпуск части горячего воздуха снижает подъёмную способность. У газового аэростата общую массу можно уменьшить освобождением от балласта, а подъёмную способность снизить выпуском газа. Конкретное управление зависит от устройства аппарата; эти действия нельзя автоматически переносить с одного типа на другой.

При подъёме меняются наружная плотность, давление и температура. У гибкой оболочки может изменяться и объём. Поэтому одной постоянной силы Архимеда недостаточно для расчёта всей траектории. В интерактиве показано только начальное направление движения при заданных условиях, а не высота или скорость настоящего полёта.

Тепловой шар, стратостат, дирижабль

Тепловой аэростат использует нагретый воздух. Газовый — лёгкий газ. Свободный шар по горизонтали в основном движется вместе с воздушными потоками; пилот может выбирать высоту, где направление ветра отличается.

Стратостат предназначен для подъёма в стратосферу. Его форма, объём и материалы выбираются с учётом большого изменения внешних условий. Это назначение аппарата, а не отдельный закон подъёма.

Дирижабль — управляемый аэростат. Оболочка обеспечивает выталкивающую силу, а двигатели, винты и органы управления позволяют изменять движение относительно окружающего воздуха. Ветер при этом продолжает влиять на путь относительно земли.

Самолёт и вертолёт удерживаются главным образом благодаря взаимодействию движущегося воздуха с крылом или лопастями. Они тоже вытесняют немного воздуха, но это не основной механизм их полёта. Термин «подъёмная сила» встречается и там; физический механизм нужно уточнять.

Проверь понимание

1. Плавающее судно имеет массу 75 т. Какова масса вытесненной воды?
2. На судно добавили груз. Что произойдёт с осадкой после установления равновесия?
3. Почему нельзя объяснять плавание судна словами «сталь стала легче воды»?
4. В нашей барже допустимая осадка 1,80 м. Какова предельная масса груза в воде плотностью 1,03 т/м³?
5. В аэростате объёмом 1000 м³ нагретый воздух имеет плотность 0,90 кг/м³, наружный — 1,20 кг/м³. Оболочка и оборудование имеют массу 200 кг. Какой полезный груз соответствует равновесию?
6. Что изменится в предыдущем опыте, если груз увеличить до 120 кг?

Ориентиры для проверки

1. 75 т — независимо от того, пресная вода или солёная.
2. Осадка увеличится: нужно вытеснить больше воды.
3. Плотность стали прежняя. Изменяются внешний объём корпуса и средняя плотность системы.
4. 1,03 × 100 × 1,80 − 40 = 145,4 т.
5. (1,20 − 0,90) × 1000 − 200 = 100 кг.
6. Тяжесть станет больше силы Архимеда на 20 × 10 = 200 Н. Отпущенный без скорости аэростат начнёт опускаться.

Типичные ошибки

Методические заметки для учителя

Цели: перенести условие плавания на технические системы; связать осадку с массой и плотностью среды; составить баланс сил аэростата; различать массу груза и силу, которую нужно уравновесить.

Ожидаемый результат: ученик объясняет плавание металлического корпуса, предсказывает увеличение осадки при погрузке и переходе в менее плотную воду, учитывает массу газа и оболочки при расчёте аэростата.

Порядок работы: начните с вопроса о фольге. Предложите прогноз до объяснения. В лаборатории судна меняйте сначала только груз, затем только воду. После этого перейдите к воздушной части и попросите назвать все составляющие массы до запуска расчёта. Закончите самостоятельной задачей и самопроверкой.

Объёмный материал можно разделить на два занятия: «Корпус и осадка» и «Аэростаты». Между ними полезно восстановить общий закон через вопрос: что вытесняет тело и что уравновешивает выталкивающая сила?

Трудные места: средняя плотность полого тела, различие фактической ватерлинии и допустимой грузовой отметки, масса тёплого воздуха в открытой оболочке, учёт оборудования и различие Н/кг. Не закрепляйте фразу «горячий воздух не имеет веса».

Критерии понимания: правильный прогноз плюс объяснение через массу, объём и плотность; согласованные единицы; включение всех частей системы в баланс. Угаданный вариант без причины не равен освоению темы.

Упрощение: оставить пресную воду и готовые значения вытесненного объёма; использовать карточки масс вместо буквенных формул. Усложнение: вывести выражение для осадки прямоугольной баржи, найти максимально допустимый груз в двух средах и объяснить, почему расчёт не заменяет судовые ограничения.

Для практического опыта достаточно фольги, ёмкости с водой и небольших одинаковых грузиков. Заранее проверьте герметичность модели, не допускайте намокания электроники. Открытый огонь и самостоятельные запуски летательных аппаратов для этого урока не требуются.

Что в моделях условно

Иллюстрации созданы с помощью ИИ и служат художественным сопровождением. Они не являются техническими чертежами, документальной съёмкой или точными масштабными реконструкциями. Числа, подписи и расчёты задаются отдельно.

Модель баржи имеет постоянную площадь горизонтального сечения 100 м² и заданную высоту борта. Вода однородна, баржа герметична, груз размещён симметрично; волны, крен, остойчивость и прочность не рассчитываются. Показанные контейнеры — условные значки добавляемого груза.

В воздушной модели объём равен 1000 м³, наружная плотность постоянна, масса оборудования принята равной 200 кг. Разные плотности газа задаются переключателями. Одно изображение обозначает обобщённый аппарат: в реальности тепловой и газовый аэростаты имеют различное устройство. Переход на гелий в модели сравнивает расчётные условия, а не предлагает заправить им настоящий тепловой шар.

Для расчётов используется g ≈ 10 Н/кг. Все 3D-кнопки обозначают места для будущих материалов. До подключения сцен они открывают описание и ссылку на соответствующую часть текста.