Ландау и Хокинг: сверхтекучий гелий и чёрные дыры

Что мы исследуем

Этот урок объединяет две темы. Первая — жидкий гелий при температуре всего в несколько кельвинов. Вторая — чёрные дыры и предсказание их излучения. Их связывает квантовая физика: она помогает объяснять поведение вещества и света в условиях, где повседневный опыт уже недостаточен.

Лев Ландау разрабатывал теорию свойств материи, в том числе сверхтекучего гелия. Стивен Хокинг исследовал гравитацию, космологию и квантовые эффекты у чёрных дыр. Они работали с разными объектами. Мы не будем утверждать, что один продолжал конкретный опыт другого.

После урока вы сможете объяснить смысл сверхтекучести; отличить горизонт событий от светящегося газа; сравнить радиусы горизонтов при разных массах; объяснить, как масса связана с температурой Хокинга; различить наблюдение, расчёт и художественную иллюстрацию.

Нужны знакомые понятия: температура, масса, энергия и тяготение. Из предыдущего урока полезно вспомнить, что свет описывают и как волну, и через кванты — фотоны. Сложные вычисления квантовой теории здесь не требуются.

Два теоретика и работа многих людей

Ландау (1908–1968) и Хокинг (1942–2018) были физиками-теоретиками. Теоретик строит математическое описание явления, выводит последствия и сравнивает их с измерениями. Это не означает, что он может обойтись без экспериментаторов или наблюдателей. Хорошая теория должна отвечать на вопрос: какой результат мы ожидаем при указанных условиях?

Ландау получил Нобелевскую премию по физике в 1962 году за теории конденсированного состояния, особенно жидкого гелия. Его исследования были частью более широкой работы о квантовых жидкостях. Сверхтекучесть экспериментально исследовал Пётр Капица; важные результаты также получили Джон Аллен и Дон Мизенер. Представление о двух составляющих развивали Ласло Тиса и Ландау.

Хокинг соединял идеи общей теории относительности, квантовой физики и термодинамики. Его работа об излучении чёрных дыр опиралась и на вопросы о тепловых свойствах чёрных дыр, поставленные другими исследователями, в том числе Якобом Бекенштейном. Наука развивается через совместную работу, споры и проверку результатов.

Кельвины и абсолютный нуль

Температуру в этом уроке измеряют в кельвинах, обозначение K. Перед K не пишут значок градуса. Нулевая отметка шкалы — абсолютный нуль: 0 K, или −273,15 °C. Разность в один кельвин равна разности в один градус Цельсия.

t в °C = T в K − 273,15

Например, 3,0 K соответствует −270,15 °C, а 1,8 K — −271,35 °C. Более маленькое положительное число в кельвинах означает более низкую температуру. Но 1,8 K — не абсолютный нуль: до него ещё 1,8 кельвина.

Мы рассматриваем изотоп гелий-4. При низком давлении переход к сверхтекучему состоянию происходит приблизительно при 2,17 K. Условия важны: температура перехода зависит от давления. Число 2,17 K нельзя автоматически переносить на любое вещество или на другой изотоп гелия.

Гелий при охлаждении не обязан вести себя как вода. Квантовые свойства гелия-4 позволяют ему оставаться жидким при очень низкой температуре; для затвердевания нужны специальные условия давления. Слово «холодный» само по себе не означает «твёрдый».

Что такое вязкость и сверхтекучесть

Вязкость характеризует внутреннее сопротивление жидкости относительному движению её частей. Мёд течёт медленнее воды в похожих условиях, потому что его вязкость гораздо больше. Чтобы поддерживать течение вязкой жидкости по узкой трубке, обычно нужен перепад давления: с одной стороны давление выше, чем с другой.

Чем уже канал, тем сильнее обычному течению мешает вязкое сопротивление. Поэтому очень тонкая щель может почти остановить нормальную составляющую жидкого гелия. Сверхтекучая составляющая способна проходить через такой канал без вязкого сопротивления — пока выполняются необходимые условия, например ограничения на скорость.

Сверхтекучесть — свойство определённых квантовых систем. Это не просто «очень жидкая вода» и не универсальный результат любого охлаждения. Она связана с коллективным квантовым поведением большого числа частиц. Описание отдельного атома здесь недостаточно: важны свойства жидкости как целого.

Отсутствие вязкого сопротивления не означает, что все возможные процессы с жидкостью лишены потерь. При быстрых течениях, вихрях и взаимодействии составляющих возникает более сложное поведение. Визуальный опыт показывает только одну характерную особенность.

Как читать опыт с каналом

В первом исследовании используются два резервуара и очень узкий канал между ними. Перепад давления считается заданным и одинаковым в обоих сравниваемых случаях. Сначала выберите 3,0 K и откройте канал. Затем выберите 1,8 K и повторите действие. При смене температуры клапан закрывается, чтобы было понятно, когда начинается новое сравнение.

При 3,0 K гелий-4 находится выше перехода. В выбранном очень узком канале обычное течение сильно подавлено вязкостью. При 1,8 K появляется сверхтекучая составляющая, и заметное прохождение через канал возможно без вязкого сопротивления.

На экране показана качественная схема. Яркость и толщина струй помогают различать состояния, но не задают расход в миллилитрах в секунду. По этой картинке нельзя определить долю сверхтекучей составляющей или время опорожнения сосуда. Для такого расчёта нужны размеры, давление, измеренные свойства гелия и более полная модель.

Проверяемый вывод звучит так: при одинаковом узком канале и перепаде давления охлаждение гелия-4 ниже перехода изменяет характер течения. Утверждение «всякая холодная жидкость проходит через любые отверстия» из опыта не следует.

Модель двух составляющих

Жидкий гелий ниже перехода называют гелием II. В двухжидкостном описании у него есть нормальная и сверхтекучая составляющие. Нормальная составляющая обладает вязкостью; сверхтекучая в идеализированном описании не обладает вязкостью.

Это не два сорта атомов, которые можно раскрасить и разложить по отдельным этажам сосуда. Обе составляющие описывают одну и ту же квантовую жидкость. Модель позволяет говорить о разных движениях и учитывать их вклад в измеряемые свойства.

Доля нормальной составляющей меняется с температурой. Наша схема её не рассчитывает. Особенно важно не считать, что ниже 2,17 K вся жидкость при любой температуре состоит только из сверхтекучей составляющей.

В гелии II могут распространяться не только обычные волны давления, но и волны, связанные с переносом тепла, — «второй звук». Это ещё один пример того, что новая теория должна объяснять несколько разных измерений, а не только один эффект в узкой трубке.

Откуда берётся энергия течения

Отсутствие одного вида сопротивления не создаёт энергию. В нашем сравнении жидкость движется из-за перепада давления. Если поддерживать этот перепад, нужно учитывать работу устройства, которое его создаёт. Если он возникает из-за разной высоты жидкости, расходуется запас потенциальной энергии.

В реальной установке отдельно расходуется энергия на охлаждение и поддержание низкой температуры. Криостат — прибор, который изолирует образец от теплопритока и позволяет поддерживать нужные условия. Вакуумная оболочка и тепловые связи имеют конкретную задачу, а не служат украшением.

Сверхтекучесть интересна тем, что позволяет исследовать квантовую механику на масштабе целой жидкости. Она не даёт способа бесконечно получать полезную работу без источника энергии. Когда необычный опыт кажется нарушением известных законов, сначала уточняют условия и полный энергетический баланс.

Ландау: разговоры и школа

В молодости Ландау работал за границей, в том числе с Нильсом Бором в Копенгагене. Обсуждение идей с другими исследователями помогает увидеть скрытое предположение и проверить рассуждение. В физике убедительность зависит от аргументов и результатов, а не только от имени автора.

Ландау и Евгений Лифшиц создавали большой «Курс теоретической физики». Это серия книг о разных областях: механике, электродинамике, квантовой теории, свойствах вещества и других темах. Единые принципы позволяют переходить между задачами, которые внешне выглядят непохожими.

С именем Ландау связана программа экзаменов «теоретический минимум». В современной программе кафедры Института Ландау указаны 11 экзаменов по математике и физике. Это современное число: мы не переносим его автоматически на все исторические варианты программы. Смысл программы — подготовка к исследовательской работе.

Для школьного обсуждения можно взять более простой вопрос: какие знания нужны, чтобы объяснить течение жидкости? Недостаточно знать одно название. Нужно понимать давление, энергию, температуру и границы используемой модели.

Что называют чёрной дырой

Чёрная дыра — область пространства-времени, изнутри которой сигнал не может выйти к далёкому наблюдателю. Её границу называют горизонтом событий. Внешний свет может попадать внутрь; свет, отправленный изнутри наружу, не достигает внешнего мира.

Это описание из общей теории относительности. В ней гравитация связана с геометрией пространства-времени. Рисунок в виде тяжёлого шарика на резиновой ткани может подсказать идею искривления, но не является точной моделью чёрной дыры. Настоящий горизонт не отверстие в материальном полотне.

У чёрных дыр бывают разные массы; они могут вращаться. В наших расчётах выбран простой случай: вращение и электрический заряд отсутствуют. Его называют моделью Шварцшильда. Назвать модель важно: простая формула не охватывает все возможные чёрные дыры.

Слово «чёрная» означает невозможность получить обычный выходящий свет изнутри горизонта. Оно не означает, что вся окружающая область тёмная. Вещество снаружи может нагреваться и ярко светиться.

Горизонт, тень и аккреционный диск

Различайте три объекта. Горизонт событий — граница выхода сигналов. Аккреционный диск — вещество, которое обращается вокруг чёрной дыры и может постепенно попадать в неё. Тень — тёмная область видимого изображения, связанная с захватом света и искривлением его путей.

Горизонт не твёрдая стенка и не раскалённая поверхность. Яркий диск находится снаружи. Его свет может достичь телескопа. Часть света проходит по искривлённым путям, поэтому на визуализации диск может выглядеть как несколько дуг. Это не несколько отдельных дисков.

Изображение тени не измеряет радиус горизонта простым прикладыванием линейки. На вид влияют геометрия света, вращение, положение наблюдателя и излучающее вещество. Численные модели помогают связывать изображение с физическими параметрами.

Наша интерактивная схема показывает сечение горизонта в линейном масштабе. Она нужна для сравнения радиусов. Художественная иллюстрация рядом показывает возможный вид окрестностей. Не переносите размеры из одной картинки на другую.

Рассчитаем радиус горизонта

Для невращающейся незаряженной чёрной дыры:

rₛ = 2GM / c²

Здесь rₛ — радиус горизонта; G — гравитационная постоянная; M — масса; c — скорость света в вакууме. Формула даёт длину. Если масса выражена в массах Солнца M☉, удобно использовать приближение:

rₛ ≈ 2,95 км × (M / M☉)

Для 10 масс Солнца получаем примерно 29,5 км. Это радиус: расстояние от центра до границы на схеме. Диаметр вдвое больше, около 59 км. Для 100 масс Солнца радиус около 295 км, а диаметр около 590 км.

При увеличении массы в 10 раз радиус и диаметр увеличиваются в 10 раз. Это прямая пропорциональность. Кнопка «Запомнить для сравнения» отмечает только два заданных случая. Она не создаёт длинный список всех положений ползунка.

Приборная точность здесь не заявлена. Программа использует численные значения физических постоянных и округляет результат. Указание «2,95 км» уже является приближением, поэтому не стоит приписывать такому расчёту точность до сантиметра.

Почему чёрная дыра не пылесос

Издалека гравитационное действие определяется массой и расположением объекта. Чёрная дыра не получает дополнительную способность «всасывать всё» только из-за своего названия. Вдали от неё действие на орбиту похоже на действие другого объекта той же массы.

Мысленно заменим Солнце невращающейся чёрной дырой той же массы, не меняя положение и движение Земли. На расстоянии земной орбиты характер гравитационного действия остался бы прежним. Земля не стала бы немедленно падать внутрь. Но исчезли бы солнечное освещение и нагрев.

Это сравнение не описывает реальный способ превратить Солнце в чёрную дыру. Оно изолирует одну величину — массу — и проверяет конкретное заблуждение. Вблизи горизонта простой ньютоновский подход уже недостаточен; там важна общая теория относительности.

Есть и приливные эффекты: ближняя и дальняя части протяжённого объекта испытывают разное действие гравитации. Они могут растягивать объект. Однако фраза «всё обязательно втянется с любого расстояния» не следует из существования приливных сил.

Что предсказал Хокинг

Классическое описание горизонта говорит о невозможности выхода сигналов изнутри. В 1974 году Хокинг учёл квантовые поля на фоне искривлённого пространства-времени. Расчёт дал тепловое излучение, которое внешнему наблюдателю соответствует определённой температуре чёрной дыры.

Для понимания результата достаточно двух идей: у чёрной дыры есть предсказанная температура, и эта температура зависит от массы. Сам вывод требует продвинутой математики. Мы не подменяем его картинкой, на которой из внутренности горизонта вылетают светящиеся шарики.

Популярный рассказ о паре частиц у горизонта может служить метафорой. Его нельзя принимать за буквальную видеозапись процесса или точное доказательство формулы. На странице мы используем численное сравнение и честно называем его теоретическим предсказанием.

Если чёрная дыра теряет энергию с излучением, это может уменьшать её массу. Но для общего изменения массы нужно учитывать и поглощение. Большая астрофизическая чёрная дыра сегодня может получать из окружающей среды больше энергии, чем отдавать таким излучением.

Температура Хокинга: пример

Для выбранной невращающейся незаряженной чёрной дыры приближённая зависимость имеет вид:

Tₕ ≈ 6,17 × 10⁻⁸ K × (M☉ / M)

Масса стоит в знаменателе. Поэтому при росте массы температура уменьшается. Для 10 масс Солнца получается примерно 6,17 × 10⁻⁹ K. Это 6,17 нанокельвина. Один нанокельвин равен одной миллиардной кельвина: 1 нК = 10⁻⁹ K.

Для 100 масс Солнца результат в 10 раз меньше: примерно 0,617 нК. Сравните с радиусом: он, наоборот, увеличивается в 10 раз. Две зависимости от одной и той же массы имеют противоположный характер.

Полосы на графике пропорциональны температуре. После расчёта для обеих масс длинная полоса соответствует 10 массам Солнца, короткая — 100. Температуры чрезвычайно малы. Они не описывают яркость горячего газа, который может окружать чёрную дыру.

Излучение Хокинга от астрофизической чёрной дыры пока не обнаружено напрямую. Отсутствие такого измерения не позволяет называть расчёт измеренным фактом. Но теория даёт определённый результат, который можно обсуждать и проверять по мере развития наблюдений.

Хокинг: книги, голос и невесомость

«Краткая история времени» вышла в 1988 году. Хокинг хотел сделать вопросы о Вселенной доступными широкой аудитории. Писать для неспециалиста означает выбирать понятный язык, объяснять термины и не превращать догадку в установленный факт.

После потери речи Хокинг использовал компьютерную систему и синтезатор голоса. Он выбирал буквы, слова и фразы; устройство озвучивало составленный текст. Такая работа требовала времени. Его общение и научная деятельность опирались на помощь людей и инженерные решения. Речевой компьютер был рабочим инструментом, а не просто узнаваемой деталью портрета.

В апреле 2007 года Хокинг участвовал в полёте с краткими участками невесомости. Самолёт двигался по специальным параболическим траекториям. На части пути самолёт и пассажиры свободно падали вместе, поэтому опора почти не действовала на пассажира. Гравитация при этом не исчезала.

Этот полёт связывает историю учёного с уроком о невесомости. Он не был путешествием за пределы атмосферы. Уточнять такие различия полезно: яркий биографический факт должен помогать пониманию, а не создавать новый миф.

Что наблюдают и что рассчитывают

В опытах с гелием исследователи непосредственно изменяют условия и измеряют течение. Такие результаты можно сопоставлять с предсказаниями теории квантовой жидкости. Реальная установка сложнее нашей схемы: нужно контролировать температуру, давление, геометрию и теплоприток.

В астрономии нельзя поднести прибор к горизонту известной чёрной дыры. Информацию получают из приходящего излучения, движения окружающего вещества и других сигналов. Например, радиотелескопы объединяют в сети, чтобы получить информацию с большим угловым разрешением. Изображения окрестностей чёрных дыр помогают сопоставлять наблюдения с моделями.

Свет горячего газа снаружи и излучение Хокинга — разные физические явления. Яркая картинка аккреционного диска не доказывает непосредственного обнаружения квантового излучения самой чёрной дыры. Аналоговые лабораторные системы также не являются астрофизическими чёрными дырами.

Полезно каждый раз задавать три вопроса: что именно зарегистрировано прибором; какое объяснение связывает сигнал с объектом; какие предположения нужны для этого объяснения? Такой порядок помогает оценивать научные новости без поспешных выводов.

Границы моделей и типичные ошибки

Художественные изображения не заменяют измерения. В схемах условия и масштабы указаны отдельно. Не используйте простую формулу для вращающейся чёрной дыры без проверки её применимости. Не выводите точный расход гелия из толщины нарисованной струи.

Самопроверка с объяснениями

1. Переведите 2,17 K в градусы Цельсия.
2. Почему в опыте нужно оставить тот же канал и перепад давления?
3. Может ли сверхтекучесть сама снабжать установку энергией?
4. Масса чёрной дыры увеличилась с 10 до 100 масс Солнца. Как изменятся радиус горизонта и температура Хокинга?
5. Что светится на изображении аккреционного диска?
6. Что означает полёт с невесомостью: исчезновение гравитации или общее свободное падение?

Ответы и ход рассуждения

1. 2,17 − 273,15 = −270,98 °C, то есть приблизительно −271 °C. 2. Чтобы сравнение показывало влияние температуры, а не одновременно нескольких причин. 3. Нет: энергия движения поступает, например, от перепада давления, а охлаждение требует отдельной работы. 4. Масса выросла в 10 раз. Радиус вырос в 10 раз, температура уменьшилась в 10 раз. 5. Горячее вещество снаружи горизонта. Его свет не является непосредственным обнаружением излучения Хокинга. 6. Самолёт и пассажиры некоторое время свободно падают вместе; гравитация остаётся.

Для усложнения: найдите массу в пределах ползунка, при которой радиус приблизительно в пять раз больше радиуса для 10 M☉. Проверьте результат на схеме и объясните, какая пропорциональность использована.

Учителю: два занятия и признаки понимания

Первое занятие, около 40–45 минут. Начните с сравнения воды и мёда: пусть ученики объяснят, что нужно для течения. Введите вязкость и шкалу кельвинов. Затем проведите экранный опыт при 3,0 K и 1,8 K. Попросите назвать неизменные условия. После сравнения объясните две составляющие, ограничения модели и источник энергии. Завершите коротким рассказом о школе Ландау.

Второе занятие, около 40–45 минут. Разберите различие горизонта, тени и диска. Пусть ученики сначала предскажут результат увеличения массы, затем запишут два случая. Сравните прямую зависимость радиуса и обратную зависимость температуры. Обсудите, почему изображение яркого диска не является обнаружением излучения Хокинга. Закончите итоговой проверкой.

Облегчение. Используйте только кнопки двух заданных случаев. Прочитайте длинные варианты ответа вслух; попросите пересказать их своими словами. Не требуйте освоения вывода квантовой формулы. Достаточно верно объяснить условия и направление изменения величин.

Усложнение. Предложите рассчитать радиус для 50 M☉, сравнить радиус и диаметр, а затем найти температуру относительно случая 10 M☉. Обсудите разницу между качественной и количественной моделью.

Признаки понимания. Ученик не смешивает K и °C; сохраняет условия сравнения; не делает из сверхтекучести источник энергии; различает радиус и диаметр; связывает температуру Хокинга с обратной пропорциональностью; называет свет диска и квантовое предсказание разными явлениями.

Организация. Это экранный урок. Реальные опыты с криогенными жидкостями здесь не предлагаются. Три 3D-места и два видео пока без материалов; их отсутствие не мешает пройти объяснения и задания. Можно использовать полный текст без анимаций. При печати ответы раскрываются.