Планк и Эйнштейн: кванты света и относительность времени

Два вопроса о свете и времени

В начале XX века привычные описания мира пришлось расширить. Законы Ньютона хорошо работают для повседневных движений, но они не отвечают на все вопросы о свете и веществе. В этом уроке нас интересуют два конкретных вопроса. Как свет передаёт энергию электрону? Как сравнить время между событиями, если часы движутся относительно наблюдателя?

Планк изучал излучение нагретых тел. Эйнштейн предложил описание передачи энергии света отдельными квантами и пересмотрел правила сравнения времени и пространства. Это разные задачи: не надо объяснять фотоэффект замедлением времени или движение часов нагревом металла.

Перед чтением полезно вспомнить, что энергия может передаваться между телами, свет является электромагнитным излучением, а электрон несёт отрицательный заряд. Для численных примеров понадобятся деление, квадраты и квадратный корень. Сначала прочитайте словесные объяснения; формулы уточняют их, а не заменяют.

Частота, длина волны и энергия

Частота ν показывает, сколько колебаний происходит за секунду; её единица — герц (Гц). Длина волны λ — расстояние между соседними одинаковыми фазами волны. Для света в вакууме эти величины связаны: c = λν. Здесь c = 299 792 458 м/с — скорость света в вакууме. Поэтому меньшей длине волны соответствует большая частота.

Видимые цвета занимают лишь небольшой участок электромагнитного спектра. Фиолетовый свет имеет более короткие волны, чем красный. Инфракрасное излучение находится за красной областью, ультрафиолетовое — за фиолетовой. Точные границы видимости не являются резкими: на схеме выделен примерный диапазон 380–780 нм.

Нанометр (нм) — миллиардная доля метра; микрометр (мкм) — миллионная. 1 мкм = 1 000 нм. Например, 500 нм — это 0,50 мкм. В среде скорость света может отличаться от c; формулу с c в наших примерах применяем именно к вакууму. Цвет в этом уроке обозначает длину волны, а не яркость.

Почему нагретые тела излучают

Даже тело, которое не светится для глаза, испускает тепловое излучение. «Не видно» не означает «не излучает». При нагревании меняются распределение энергии по длинам волн и общая мощность излучения. Раскалённая заготовка служит знакомым примером, но её реальный спектр зависит также от материала и состояния поверхности.

Для расчёта удобно идеальное чёрное тело: оно поглощает всё падающее на него излучение. Название описывает способность поглощать, а не обязательный чёрный цвет при любой температуре. Нагретое чёрное тело тоже излучает. Модель помогает отделить зависимость от температуры от особенностей конкретного металла.

График на странице показывает спектральное излучение на единицу длины волны. У каждого спектра свой максимум. Мы делим значения каждой кривой на её собственный максимум, поэтому обе вершины достигают 1. Это позволяет сравнивать форму и положение пика. Из равной высоты нормированных пиков нельзя заключать, что тела одинаково яркие.

Пример: нагрев от 1 800 К до 5 800 К

Закон смещения Вина связывает температуру T в кельвинах и длину волны максимума спектра λmax:

λmax = b / T, b ≈ 2,898 × 10⁻³ м·К.

Для 1 800 К получаем λmax ≈ 1,61 × 10⁻⁶ м = 1,61 мкм. Максимум находится в инфракрасной области. Для 5 800 К получается около 0,50 мкм, в видимом диапазоне. При нагревании пик смещается к более коротким волнам. Это не означает, что тело излучает только на длине волны своего максимума.

Отдельно сравним полную излучаемую мощность тел одинаковой площади. Для идеального чёрного тела P пропорциональна T⁴. При увеличении температуры с 3 000 К до 6 000 К она возрастает в (6 000 / 3 000)⁴ = 16 раз. На странице отношение к мощности при 3 000 К вынесено в отдельный показатель, потому что нормированная кривая не сохраняет эту информацию.

Не путайте излучаемую мощность с чистой потерей энергии тела: окружающая среда также передаёт ему излучение. Здесь рассчитывается испускание, а не полный тепловой баланс.

Что предложил Планк

В 1900 году Планк предложил описание спектра теплового излучения, согласующееся с измерениями. В его подходе обмен энергией между излучением и модельными осцилляторами связан с дискретными порциями hν. Осциллятор — система, способная колебаться. Возможные значения её энергии в этой модели записываются E = nhν, где n — целое неотрицательное число.

Постоянная h задаёт масштаб квантовых эффектов. Слово «квант» означает отдельную допустимую порцию; это не название особого вещества. Нельзя говорить, что вся энергия во всех ситуациях обязательно имеет один универсальный размер порции: величина hν зависит от частоты.

Исторически нужно разделять шаги. Планк работал над тепловым излучением. Эйнштейн в 1905 году развил гипотезу отдельных квантов самого света. Поэтому утверждение «Планк сразу нарисовал свет как поток маленьких шариков» неверно. Шарики в учебной схеме — только условные обозначения.

Интересный факт. В современной СИ h имеет точное заданное значение 6,62607015 × 10⁻³⁴ Дж·с. С 2019 года через него определяют килограмм. Идея квантов связала описание света с точным измерением массы. Источник: BIPM.

Как устроен фотоэффект

При внешнем фотоэффекте свет вызывает выход электронов из вещества. Чтобы электрон покинул поверхность металла, требуется энергия — работа выхода φ. Её значение зависит от материала и поверхности. На странице выбран условный материал с φ = 2,30 эВ. Это не одинаковая характеристика всех металлов.

Фотон — квант электромагнитного излучения. Его энергия E = hν = hc/λ. Если энергия отдельного фотона недостаточна для выхода электрона, увеличение числа таких фотонов в обычной однофотонной модели не устраняет порог. При энергии выше φ фотоэффект возможен. Максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона равна Kmax = E − φ.

Кинетическая энергия — энергия движения. «Максимальная» важно: реальные электроны могут выходить с меньшей энергией. Электронвольт (эВ) — единица энергии, удобная для частиц: 1 эВ = 1,602176634 × 10⁻¹⁹ Дж. Не путайте эВ с вольтом, который измеряет электрическое напряжение.

Пороговая частота равна ν0 = φ/h. Для выбранного материала пороговая длина волны λ0 = hc/φ ≈ 539 нм. Свет с более короткой длиной волны имеет достаточно энергии. На самом пороге максимальная кинетическая энергия равна нулю; модель показывает положительную энергию выхода при E > φ.

Пример: красный и фиолетовый свет

Если длина волны выражена в нанометрах, удобно пользоваться записью E ≈ 1 239,84 / λ эВ. Подставляем красный свет 650 нм: E ≈ 1 239,84 / 650 = 1,91 эВ. Это меньше работы выхода 2,30 эВ. Пакет из 20 фотонов не выпускает электронов в нашей модели.

Для фиолетового света 400 нм: E ≈ 3,10 эВ. Работа выхода преодолена, а Kmax ≈ 3,10 − 2,30 = 0,80 эВ. Пять фотонов дают пять электронов при принятых идеальных условиях. Двадцать фотонов дают двадцать электронов с той же максимальной энергией 0,80 эВ.

Так мы отдельно меняем две величины. Длина волны меняет энергию одного фотона. Число фотонов меняет число возможных актов взаимодействия. В опыте сравниваются пакеты; мощность в ваттах и электрический ток прибора не моделируются. Для мощности важно также время поступления энергии.

У реальной поверхности часть света отражается, а часть поглощённой энергии не приводит к выходу электрона. Поэтому число электронов обычно меньше числа падающих фотонов. Очень интенсивные специальные лазерные процессы могут включать взаимодействие с несколькими фотонами; они выходят за условия этой вводной модели.

Эйнштейн в 1905 году

Эйнштейн работал техническим экспертом в патентном ведомстве Берна с 1902 по 1909 год. В 1905 году он публиковал научные работы, продолжая эту работу. Световые кванты, броуновское движение и относительность были разными направлениями его исследований. Портрет и рабочая комната на странице — современные художественные реконструкции, а не свидетельства того, как выглядел конкретный день.

Интересный факт. В обосновании Нобелевской премии Эйнштейна за 1921 год особо отмечен закон фотоэффекта. Поэтому привычное утверждение «Эйнштейн получил эту премию за относительность» неточно. Источник: NobelPrize.org.

Квантовое описание не отменило волновые свойства света. Интерференция и дифракция требуют учитывать его волновое поведение; передача энергии при регистрации отдельного фотона проявляет квантовую сторону. Не следует выбирать между «обычной волной» и «обычным шариком» как буквальными исчерпывающими картинками. Физическая модель должна объяснять результаты выбранного опыта.

Учёные вне лаборатории

Планк и Эйнштейн встречались и за музыкой.

Планк играл на фортепиано, Эйнштейн — на скрипке. В доме Планка они участвовали в музыкальных вечерах вместе с коллегами и профессиональными музыкантами.

Планк любил не только музыку, но и горы

Планк любил альпийские походы и поднимался на Цугшпитце и Дахштайн. Даже в пожилом возрасте он продолжал бывать в горах.

Что поворачивает стрелку, если её никто не касается?

Эйнштейн вспоминал, как в четыре или пять лет его поразил компас. Стрелка указывала направление под действием невидимого магнитного поля. Обычный предмет заставил ребёнка задуматься о том, что скрыто за видимыми вещами.

Миф: Эйнштейн плохо знал математику

На вступительном экзамене в Цюрихе в 1895 году он отлично справился с математикой и естественными науками. Общий результат оказался недостаточным из-за языковых и исторических предметов. Это описано в архиве ETH Zürich.

Источник: выставка Общества Макса Планка · Источник: историческая выставка AIP

Проверить по архиву ETH Zürich

Что такое система отсчёта

Чтобы описать движение, нужно указать, относительно чего измерены положения и времена. Пассажир может считать поезд покоящимся, а станцию движущейся назад. Наблюдатель на станции описывает тот же поезд как движущийся вперёд. Это не спор о фактах: они пользуются разными системами отсчёта.

Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно или покоится. Для нашего мысленного опыта пассажир и станция пользуются такими системами: поезд не разгоняется, не тормозит и не поворачивает.

Специальная теория относительности опирается на одинаковые законы физики во всех инерциальных системах и одинаковую скорость света в вакууме c для всех таких наблюдателей. Скорость источника не прибавляется к c. Чтобы эти условия выполнялись, времена, расстояния и одновременность событий нельзя считать одинаковыми для всех систем.

Наблюдатель на станции — это описание измерений в её системе с согласованными часами, а не просто зритель, который замечает поезд с опозданием из-за времени прихода света. В формуле замедления времени задержка доставки сигнала уже отделена от сравнения времени событий.

Световые часы шаг за шагом

Возьмём два зеркала на расстоянии L = 1,5 м друг от друга поперёк направления движения поезда. Свет стартует от нижнего зеркала, отражается от верхнего и возвращается к нижнему. Полный путь туда и обратно принимаем за один тик. Это мысленный прибор, выбранный потому, что его работу легко связать со скоростью света.

В системе пассажира зеркала неподвижны. Свет проходит вертикально расстояние 2L. Продолжительность тика Δτ = 2L/c ≈ 10,01 нс. Собственное время Δτ измеряется часами, вместе с которыми происходят начало и конец тика в одном месте: у нижнего зеркала.

В системе станции часы смещаются вправо. Чтобы попасть в верхнее зеркало, свет проходит диагональный участок, затем второй диагональный участок при возвращении. Каждый участок длиннее вертикального расстояния L. Поскольку скорость света осталась c, на путь нужно больше времени.

Пунктирные изображения на схеме обозначают одни часы в разные моменты: 0 — старт, 1 — отражение, 2 — возвращение. Кнопка переключает эти события вручную. Она не показывает замедленное видео физических наносекунд. Сравните полный тик в покое и полный тик при 0,80c.

Как получить отношение времён

Пусть Δt — время полного тика в системе станции. За половину тика часы проходят горизонтально vΔt/2, а свет проходит диагонально cΔt/2. По теореме Пифагора:

(cΔt/2)² = L² + (vΔt/2)².

Переносим слагаемое с v в левую часть, выносим Δt² и получаем Δt = (2L/c) / √(1 − v²/c²). С учётом Δτ = 2L/c:

Δt = γΔτ, γ = 1 / √(1 − β²), β = v/c.

Для β = 0,80: √(1 − 0,64) = 0,60, поэтому γ = 1 / 0,60 ≈ 1,667. Тогда тик около 10,01 нс у пассажира занимает около 16,68 нс по часам системы станции.

Тот же коэффициент можно применить к более длительному интервалу этого равномерного движения: 60 минут собственного времени соответствуют 100 минутам в системе станции. Это условный пример при чрезвычайно большой скорости. У обычного поезда эффект очень мал.

При v = 0 получаем γ = 1, различия нет. При v, приближающейся к c, коэффициент растёт. На странице v ограничена 0,95c: формула не используется при v = c для часов с массой. Нельзя подставлять скорость света в знаменатель и объявлять, что существует система покоя фотона.

Что означает замедление времени

Пассажир не чувствует, что его часы сломались или стали отсчитывать секунды иначе относительно процессов рядом с ним. Различие появляется при сравнении измерений в двух системах отсчёта. В системе станции движущиеся часы накапливают меньше собственного времени за выбранный интервал времени станции.

Равномерное относительное движение взаимно: в системе пассажира станционные часы движутся. Это не противоречие, потому что сравнения используют разные пары событий и разные правила одновременности для удалённых часов. Нельзя молча считать одни и те же удалённые события одновременными в обеих системах.

Если часы уезжают, разворачиваются и вновь встречаются, простая схема двух постоянно инерциальных систем уже недостаточна для всей истории. Потребуется описать смену движения и сравнить накопленное собственное время вдоль каждой траектории. Наш опыт не решает задачу путешествия туда и обратно.

Слово «относительность» не означает «любое объяснение одинаково верно». Теория задаёт строгие отношения между измерениями; их проверяют точными часами и другими опытами.

Часы спутников и энергия покоя

Спутниковая навигация использует точные измерения времени сигналов. Для типичной орбиты GPS эффект движения даёт примерно −7 мкс в сутки, а отличие гравитационных условий — примерно +45 мкс. Суммарно спутниковые часы идут быстрее примерно на 38 мкс в сутки по сравнению с наземными. Это учитывается в системе. Микросекунда (мкс) — миллионная доля секунды. Источник: NIST.

Поправка от гравитации относится к общей теории относительности. Формула световых часов выше учитывает только движение в условиях специальной теории. Она не рассчитывает точную поправку конкретного спутника и не заменяет модель GPS.

Другой известный результат относительности — связь массы и энергии покоя: E0 = mc². Здесь m — масса покоя, E0 — энергия тела в его системе покоя. Для движущегося тела полная энергия включает энергию движения. Эта связь не означает, что энергию можно получить без изменения состояния системы, и не утверждает, что любой объект самопроизвольно отдаёт всю энергию покоя.

Квантовая физика и относительность решают разные задачи, но обе нужны современной картине мира. Урок выделяет доступные вводные модели; их нельзя превращать в полное описание всех процессов света, материи и гравитации.

Затмение помогло проверить, как гравитация отклоняет свет.

29 мая 1919 года экспедиции в Собрале и на острове Принсипи фотографировали звёзды рядом с закрытым Луной Солнцем. Их положения сравнивали с обычными снимками того же участка неба. Так проверяли общую теорию относительности Эйнштейна.

Наложите второй снимок. Звёзды не переместились: изменилось видимое направление приходящего света.

Учебная иллюстрация, не снимок 1919 года. Сдвиг многократно увеличен; звёзды расположены условно. В отличие от световых часов, здесь важна гравитация — это уже общая теория относительности.

История экспедиций: Royal Society

Типичные ошибки и как их проверить

• «Горячее тело излучает только на пике». Посмотрите на весь спектр: максимум — лишь его самая высокая область.
• «Одинаковая высота кривых означает одинаковую мощность». Вспомните нормирование. Полная мощность показана отдельно.
• «Больше фотонов — больше энергия каждого». Сравните два пакета фиолетового света: число электронов разное, Kmax одинаково.
• «Фотон — маленький классический шарик». Точки обозначают отдельные взаимодействия, но не задают буквальную форму фотона.
• «Свет в движущихся часах медленнее». В обеих системах используется c; меняется длина пути и время.
• «GPS работает только благодаря специальной относительности». Важны также гравитационные поправки общей теории и множество обычных инженерных решений.

Хорошее объяснение называет объект, изменяемую величину, условия и причину результата. Фраза «всё относительно» ни одного из этих пунктов не раскрывает.

Самопроверка с разбором

1. Температура чёрного тела удвоилась. Что будет с длиной волны максимума и общей мощностью при той же площади?

Длина волны максимума уменьшится вдвое, потому что λmax пропорциональна 1/T. Мощность увеличится в 16 раз, потому что она пропорциональна T⁴. Эти выводы относятся к абсолютной температуре в кельвинах.

2. Для нашего металла посветили светом 500 нм. Возможен ли фотоэффект и чему равно Kmax?

E ≈ 1 239,84/500 = 2,48 эВ. Это больше 2,30 эВ, поэтому фотоэффект возможен. Kmax ≈ 0,18 эВ. Реальные электроны могут иметь меньшую кинетическую энергию.

3. Скорость часов составляет 0,60c. Как соотносятся времена одного тика?

γ = 1/√(1 − 0,36) = 1/0,80 = 1,25. Если собственное время равно 10,01 нс, станция измеряет около 12,51 нс. Скорость света не изменилась.

4. Почему модель световых часов не даёт сама по себе все поправки GPS?

В ней нет гравитации. Для спутников важны и скорость, и гравитационные условия, а значит нужны соответствующие эффекты специальной и общей теорий относительности.

Открытая задача: объясните другу результаты трёх опытов без слов «так устроен мир». Для каждого назовите, что изменили, что измерили и какая связь объясняет наблюдение.

Учителю: два занятия и признаки понимания

Цели. Ученик различает цвет и яркость, объясняет порог фотоэффекта, называет систему отсчёта и объясняет световые часы через путь света при постоянном c. Не требуйте полного вывода закона Планка или обсуждения всей квантовой механики.

Первое занятие, 40–45 минут. 5 минут — вопросы о нагреве и свете. 10 минут — спектры при двух температурах: ученик сначала прогнозирует сдвиг, затем проверяет. 10 минут — Планк, частота и фотон. 15 минут — три условия фотоэффекта с объяснениями. Остаток — проверка разницы между энергией фотона и числом фотонов.

Второе занятие, 40–45 минут. 5 минут — повторение систем отсчёта. 15 минут — полный тик световых часов в покое и при 0,80c с ручными шагами. 10 минут — разбор коэффициента γ или словесное объяснение диагонального пути. 5 минут — GPS и границы модели. 10 минут — итоговые выводы и устное объяснение.

Признаки понимания. Ученик не выводит яркость из нормированной высоты графика; предсказывает отсутствие электронов при красном свете выбранного материала; сохраняет одинаковое c в двух системах; различает собственное и координатное время.

Облегчение. Используйте только заданные кнопки, готовые энергии и сравнение путей без квадратного корня. Усложнение. Предложите самостоятельно вычислить пороговую длину волны, результат для 500 нм и γ при 0,60c. Сильным ученикам обсудите взаимность замедления и роль одновременности.

После каждого опыта просите закончить фразу: «Мы изменили …; измерили …; результат объясняется …». Видео и будущие 3D не являются условиями прохождения. При отключённых анимациях весь смысл сохраняется. Не предлагайте повторять опыты с раскалённым металлом, ультрафиолетом или высокими напряжениями дома.