Пружина как измерительный прибор

От изменения формы — к закону Гука, графику и измерению силы.

Деформация: что изменилось и что осталось

Если потянуть резиновую ленту, сжать пружину или согнуть линейку, изменятся форма и размеры тела. Такое изменение называют деформацией. Тело при этом не обязано перемещаться целиком: достаточно смещения его частей друг относительно друга.

Чтобы различить два важных случая, нужно снять воздействие. При упругой деформации тело восстанавливает исходные форму и размеры. При пластической деформации после снятия нагрузки остаётся изменение. След пальца в мягкой глине — пример остаточной деформации.

Нельзя раз и навсегда назвать материал «только упругим» или «только пластическим». Стальная пружина при небольшой нагрузке возвращается к прежней длине, а при чрезмерном растяжении может остаться вытянутой. Результат зависит от материала, нагрузки и условий опыта.

Отметь начальную форму → приложи небольшую нагрузку → зафиксируй изменение → сними нагрузку → сравни результат с исходным состоянием. Сам момент растяжения ещё не позволяет отличить упругую деформацию от пластической.

Пять способов изменить форму

При растяжении тело удлиняется вдоль действия нагрузки: например, натянутый трос. При сжатии оно укорачивается в этом направлении: например, пружина под нажимом.

Изгиб делает ось тела кривой — так прогибается линейка или перекладина. При кручении сечения поворачиваются друг относительно друга: например, когда выкручивают мокрое полотенце. При сдвиге соседние слои смещаются параллельно друг другу. Действие лезвий ножниц связано, в частности, со сдвигом и последующим разрушением материала.

Это классификация по способу изменения формы. Она не заменяет разделение на упругие и пластические деформации. Изгиб может исчезнуть после снятия нагрузки, а может сохраниться. В реальной конструкции несколько видов деформации часто возникают одновременно.

Откуда берётся сила упругости

Тело состоит из взаимодействующих частиц. В исходном состоянии их взаимное расположение устойчиво. При растяжении или сжатии меняются расстояния между частицами и их расположение. Возникающие изменения взаимодействия стремятся вернуть тело к исходному состоянию.

Сила упругости возникает при упругой деформации и противодействует этой деформации. Растянутая пружина тянет прикреплённое к ней тело к положению, соответствующему исходной длине; сжатая пружина толкает его в сторону распрямления.

Важно уточнять, на какое тело действует сила. Тянущее устройство действует на пружину вниз, а растянутая пружина действует на устройство вверх. На стенде показаны именно эти два разных действия. Они равны по модулю и противоположны по направлению, но приложены к разным телам, поэтому их нельзя складывать как две силы на одном теле.

Фраза «сила упругости всегда направлена против скорости» неверна. Когда пружина возвращает тело к исходному положению, её сила может совпадать с направлением движения тела. Она связана с деформацией, а не просто с фактом движения.

Длина и удлинение — разные величины

Обозначим исходную длину ненагруженной пружины как l₀, а длину после растяжения — как l. Удлинение — это их разность:

Δl = l − l₀

Символ Δ читается «дельта» и обозначает изменение. В формулу силы входит именно изменение длины, а не вся длина пружины. Если рассматривают сжатие и нужен модуль изменения длины, используют положительную величину |l − l₀|.

Без нагрузки длина равна 20 см, под нагрузкой — 20,5 см. Удлинение составляет 0,5 см, то есть 0,005 м. При удвоении удлинения получится 1 см, а новая длина будет 21 см. Вся пружина не станет вдвое длиннее.

Для расчётов с жёсткостью в Н/м переводят сантиметры в метры: 1 см = 0,01 м. Ошибка «0,5 см = 0,5 м» завышает результат в сто раз.

Закон Гука и область его применения

Для малых упругих деформаций многих тел модуль силы упругости прямо пропорционален величине деформации. Для пружины эту зависимость записывают так:

F_упр = k · Δl

Здесь F_упр — модуль силы упругости в ньютонах, Δl — удлинение в метрах, k — жёсткость пружины в ньютонах на метр. Зависимость называется законом Гука.

Для одной пружины в одинаковых условиях жёсткость постоянна. Если удлинение удвоить, сила упругости тоже удвоится. Это утверждение действует только в области, где применим линейный закон. Оно не означает, что пружину можно растягивать сколько угодно.

Возвращение к прежней форме само по себе ещё не гарантирует линейную зависимость. Например, резина может деформироваться упруго, но при заметном растяжении её сила не обязана быть прямо пропорциональна удлинению. При больших нагрузках возможны нелинейность, остаточная деформация и разрушение.

У закона есть условия. Сначала устанавливают, что модель подходит к опыту, и только затем подставляют числа.

Что показывает жёсткость

Из закона Гука следует:

k = F_упр / Δl

Жёсткость показывает, какая сила приходится на единицу удлинения в линейной области. Единица — Н/м. Значение 400 Н/м можно понимать как 4 Н на 1 см удлинения. Это не предложение растянуть маленькую пружину на целый метр: такое растяжение может выйти далеко за предел применимости закона.

Жёсткость зависит от материала, размеров и формы тела. Две стальные пружины могут иметь разную жёсткость из-за толщины проволоки, диаметра витков или их числа. «Стальная» ещё не значит «столь же жёсткая, как другая стальная».

При одинаковой силе более жёсткая пружина удлиняется меньше: Δl = F/k. При одинаковом удлинении более жёсткая пружина создаёт большую силу. Условия сравнения обязательно нужно назвать.

Сила 2 Н действует на пружину 200 Н/м и на пружину 800 Н/м. Удлинения равны 2 / 200 = 0,01 м = 1 см и 2 / 800 = 0,0025 м = 0,25 см. Более жёсткая пружина растянулась в четыре раза меньше.

Три расчёта без путаницы

Жёсткость пружины 400 Н/м, исходная длина 20 см, новая длина 20,75 см.

Δl = 20,75 − 20 = 0,75 см = 0,0075 м
F = 400 · 0,0075 = 3 Н

Подставить 20,75 см вместо 0,75 см было бы ошибкой: закон связывает силу с изменением длины.

Пружина жёсткостью 800 Н/м находится в равновесии при тянущей силе 4 Н.

Δl = F / k = 4 / 800 = 0,005 м = 0,5 см

Здесь модуль силы упругости равен модулю известной тянущей силы. Для динамического опыта с заметными колебаниями это простое равновесное описание уже недостаточно.

Сила 1,5 Н вызывает удлинение 3 мм. Переводим: 3 мм = 0,003 м.

k = 1,5 / 0,003 = 500 Н/м

Разделив 1,5 на 3 без перевода единиц, получили бы 0,5 Н/мм. Это то же значение, но нельзя подписывать его как 0,5 Н/м.

Опыт, таблица и график

Чтобы проверить зависимость, последовательно прикладывают несколько известных сил и измеряют соответствующие удлинения одной пружины. Исходную длину определяют до нагружения. Показания снимают после прекращения заметных колебаний, сохраняя одинаковые условия.

В учебной модели на странице жёсткость равна 400 Н/м. Силам 1, 2, 3 и 4 Н соответствуют удлинения 0,25; 0,5; 0,75 и 1 см. На горизонтальной оси отложено удлинение в сантиметрах, на вертикальной — сила в ньютонах.

Точки идеальной модели лежат на прямой, проходящей через начало координат. При нулевом удлинении сила упругости этой модели равна нулю. Отношение силы к удлинению одинаково для всех ненулевых точек.

Если сохранять масштаб осей, график более жёсткой пружины будет круче. При этом отношение чисел по осям нашего графика выражено в Н/см. Значение 4 Н/см соответствует 400 Н/м.

В настоящем опыте точки могут немного расходиться из-за погрешности. Проверка модели состоит не в том, чтобы любой ценой получить идеальную прямую, а в том, чтобы оценить, согласуются ли измерения с ней в пределах точности. Данные интерактива рассчитываются по формуле и не являются независимым экспериментальным доказательством закона.

Как пружина становится динамометром

Динамометр — прибор для измерения силы. В простейшем пружинном динамометре есть упругий элемент, указатель, шкала и детали для приложения измеряемой силы. При действии силы пружина деформируется, указатель перемещается.

Чтобы сделать шкалу, пружину градуируют: сначала отмечают положение без нагрузки, затем положения при нескольких известных силах. В области закона Гука равным прибавкам силы соответствуют равные прибавки удлинения. Поэтому шкала получается равномерной.

При установившемся измерении действие неизвестной силы сравнивается с силой упругости. По деформации пружины определяют модуль силы. Ось прибора должна соответствовать направлению измеряемого действия; боковая нагрузка может исказить показание.

Лабораторные и трубчатые динамометры подходят для учебных измерений. Кистевой прибор измеряет силу сжатия рукой, тяговый — большие силы, например при испытании транспорта. У гидравлических и электронных приборов устройство другое. В электронном динамометре деформация чувствительного элемента может преобразовываться в электрический сигнал.

Бытовой безмен тоже использует действие силы. Его шкала может быть подписана в единицах массы для удобства взвешивания при заданных условиях. Это не делает килограмм единицей силы: силу измеряют в ньютонах. Различие массы, силы тяжести и веса будет подробно рассмотрено в следующих темах.

Как правильно читать шкалу

Перед измерением определяют единицу шкалы, цену деления и верхний предел. У нашей условной шкалы единица — ньютон, предел — 5 Н. Между отметками 1 и 2 Н находятся пять равных промежутков.

Цена деления = (2 − 1) Н / 5 = 0,2 Н

Считать нужно промежутки, а не число штрихов вместе с краями. Если указатель стоит на третьем малом делении после 2 Н, показание равно 2 + 3 · 0,2 = 2,6 Н.

Порядок работы: проверь положение нуля без нагрузки, выбери подходящий диапазон, приложи силу вдоль оси прибора, дождись успокоения указателя и считай показание, глядя прямо на шкалу. Не превышай допустимую нагрузку: остаточная деформация может испортить градуировку.

Цена деления не равна автоматически полной погрешности прибора. Для грубой учебной оценки погрешности отсчёта иногда принимают половину деления, но реальная погрешность зависит ещё от устройства, класса точности, нулевой ошибки и способа измерения. В интерактиве указатель точно попадает на отметки: это тренировка чтения идеальной шкалы.

Опора, подвес и техника

Когда книга лежит на столе, стол немного деформируется и действует на книгу силой упругости. Когда груз висит на нити, нить растягивается и действует на груз. Эти изменения могут быть слишком малы для наблюдения глазом.

Если тело находится в покое и на него действуют только направленная вниз сила тяжести и направленная вверх сила со стороны опоры или подвеса, эти силы уравновешены. Нельзя делать вывод об отсутствии силы по отсутствию заметной деформации.

В подвеске велосипеда пружина сжимается на неровностях и затем распрямляется. Одна пружина способна вызывать повторные колебания, поэтому вместе с ней используют демпфер, который уменьшает колебания. Не следует приписывать пружине всю работу амортизатора.

В мостах растягиваются канаты, сжимаются опоры и изгибаются элементы настила. Инженер рассчитывает допустимые нагрузки так, чтобы деформации и напряжения оставались безопасными. Закон Гука помогает описывать поведение в линейной области, но один рисунок пружины не заменяет расчёт сложной конструкции.

Самопроверка и типичные ошибки

1. Пружина длиной 15 см стала длиной 16 см. Каково удлинение в метрах?
2. Жёсткость 300 Н/м, удлинение 2 см. Найди силу упругости.
3. При той же силе жёсткость увеличили в три раза. Как изменится удлинение?
4. Между отметками 0 и 1 Н — десять промежутков. Какова цена деления?
5. Почему возвращение резинки к прежней форме ещё не доказывает справедливость закона Гука во всём диапазоне?

Ответы и объяснения

1. 1 см = 0,01 м. 2. 300 · 0,02 = 6 Н. 3. Уменьшится в три раза, если обе пружины работают в линейной области. 4. 0,1 Н. 5. Упругость описывает восстановление формы, а закон Гука требует прямой пропорциональности силы и деформации.

Чего избегать: подставлять полную длину вместо удлинения; забывать перевод сантиметров в метры; смешивать Н/м с Н/см; измерять силу в килограммах; считать штрихи вместо интервалов; распространять закон на любые нагрузки; складывать силы, приложенные к разным телам.

Учителю: два этапа занятия

Цель: связать наблюдаемое изменение формы с измеряемой силой, научиться применять закон Гука в допустимой области и читать шкалу динамометра. В урок объединены и : устройство прибора естественно следует из упругости. Темы массы, силы тяжести и веса из не считаются здесь полноценно пройденными.

Первый этап, 20–25 минут: прогноз по ленте и глине, обсуждение видов деформации, объяснение силы упругости, работа со стендом. Сначала изменяют только силу при постоянной жёсткости, затем жёсткость при постоянной силе. Попросите отдельно записывать исходную длину, новую длину и удлинение.

Второй этап, 20–25 минут: сбор таблицы и графика, обсуждение границ линейной модели, градуировка и чтение динамометра, расчётные примеры и самопроверка. Длинный урок можно разделить на два занятия; в каждом сохраняется законченный вопрос и вывод.

Для живого опыта подходят штатный динамометр, подходящая пружина, линейка и известные нагрузки. Соблюдайте допустимую нагрузку прибора, не направляйте растянутые элементы на лицо и не проводите опыт с повреждённой пружиной. Неизвестные бытовые резинки не подходят для точной градуировки без предварительной проверки линейности.

Интерактивная таблица — подготовка к реальному измерению, а не выполненная лабораторная работа. Обсудите различие расчётных точек и экспериментальных данных. Оценивать полезно не скорость кликов, а объяснение условий сравнения, единиц и выбора формулы.

Об источниках и моделях

Объяснения, примеры и задания написаны для этого урока. Условия учебных моделей указаны рядом со схемами и расчётами.

Шесть изображений созданы с помощью imagegen и являются художественными иллюстрациями. Они не служат техническими чертежами приборов и не являются документальными фотографиями опытов. Запросы и исходные пути сохранены в описании изображений.

Все рабочие схемы двумерные. Модель пружины: l₀ = 20 см, k = 200/400/800 Н/м, F = 0–4 Н, каждое положение — равновесное. Удлинение на рисунке увеличено относительно исходной длины в шесть раз. Таблица рассчитывается для k = 400 Н/м. Учебная шкала имеет диапазон 0–5 Н и шаг 0,2 Н. Три неизвестные силы: 1,4; 2,6; 3,8 Н. Числа на экране округляются.

Пять кнопок 3D зарезервированы для будущих сцен; сами сцены не созданы и не подключены. Сохранение журнала измерений действует только до перезагрузки страницы. Движение страницы можно отключить; системная настройка уменьшения движения поддерживается.