Кто перетянет?

Сложение сил вдоль одной прямой: от канатов и тележек до равновесия и движения.

Что такое равнодействующая сил

Тележку можно тянуть двумя канатами, книгу удерживают стол и Земля, а на движущуюся баржу действуют тяга буксира и сопротивление воды. Чтобы понять изменение движения, недостаточно заметить одну силу: нужно рассмотреть их совместное действие.

Равнодействующая — сила, которая заменяет по своему действию на выбранное тело несколько одновременно действующих сил. Её обозначают буквой R и измеряют в ньютонах, как и каждую из исходных сил.

Равнодействующая — способ описать общий результат. Это не дополнительная третья сила, которую нужно прибавлять к двум настоящим силам.

В этом уроке рассматриваем силы, направленные вдоль одной прямой. Тело считаем материальной точкой или обсуждаем только его поступательное движение. Вращение и сложение сил под углом требуют отдельного рассмотрения.

Сначала выбери тело

Перед расчётом назови тело, движение которого изучаешь. Затем для каждой силы ответь на два вопроса: кто действует и на кого действует. В одну сумму входят силы, действующие на выбранное тело.

Например, на книгу, лежащую на столе, действуют сила тяжести со стороны Земли вниз и сила упругости стола вверх. Обе приложены к книге. Если книга покоится, эти силы уравновешены.

Но сила давления книги на стол и сила стола на книгу приложены к разным телам. Они не образуют пару сил, уравновешивающих одну книгу. Равенство модулей и противоположность направлений сами по себе ещё не дают равновесия выбранного тела.

«Канат тянет тележку» и «второй канат тянет тележку» — можно рассматривать вместе. «Канат тянет тележку» и «тележка тянет канат» — силы на разные тела.

Силы направлены в одну сторону

Пусть две силы действуют вдоль одной прямой вправо. Их действия усиливают друг друга. Модуль равнодействующей равен сумме модулей, а направление совпадает с направлением обеих сил.

R = F₁ + F₂

Здесь F₁ и F₂ — неотрицательные величины, показывающие модули сил. Направление указывают отдельно: словом или стрелкой.

Один канат тянет тележку с силой 12 Н вправо, другой — с силой 8 Н вправо.

R = 12 + 8 = 20 Н →

Такая пара по совместному действию вдоль рассматриваемой прямой заменяется одной силой 20 Н вправо.

Это правило можно увидеть на упругом измерителе: две нагрузки, действующие в одном направлении, заменяют одной суммарной нагрузкой, дающей такое же растяжение. Прибор при этом должен работать в допустимом диапазоне.

Силы направлены противоположно

Если силы действуют на одно тело вдоль одной прямой в противоположные стороны, из большего модуля вычитают меньший. Равнодействующая направлена в сторону большей силы.

R = |F₁ − F₂|

Вертикальные черты обозначают модуль разности. Для обычного расчёта достаточно запомнить: большее число минус меньшее, затем отдельно определить направление.

Слева тележку тянут с силой 9 Н, справа — с силой 5 Н.

R = 9 − 5 = 4 Н ←

Ответ «4 Н» неполон: важно, что результат направлен влево. Сложение 9 + 5 описывало бы другой случай, когда обе силы направлены в одну сторону.

Если одна сила исчезает, равнодействующая равна оставшейся силе. Это тоже согласуется с правилом: из ненулевого модуля вычитается ноль.

Равновесие: ноль не означает отсутствие сил

Две силы, равные по модулю и направленные противоположно вдоль одной прямой, уравновешивают друг друга, если действуют на одно тело. Их равнодействующая равна нулю.

F₁ = F₂, R = 0

Например, 6 Н вправо и 6 Н влево дают нулевую равнодействующую. При этом обе исходные силы продолжают существовать: канаты могут оставаться натянутыми.

Если равнодействующая всех сил равна нулю, тело сохраняет скорость: остаётся в покое или движется равномерно и прямолинейно. Ускорение равно нулю. Это связь с уже изученной инерцией.

Фраза «силы уравновешены» не означает «тело обязательно стоит». Нужны сведения о начальной скорости. При нулевой равнодействующей скорость не исчезает и не возникает сама.

Нулевая равнодействующая не имеет направления. Не нужно рисовать для неё стрелку «вправо» или «влево».

Как читать и рисовать стрелки сил

Стрелка показывает направление силы, её начало отмечает точку приложения, длина в выбранном масштабе соответствует модулю. Например, при масштабе 1 см на 2 Н сила 8 Н изображается стрелкой длиной 4 см.

При сложении сонаправленных сил длины складываются. При противоположных силах длина стрелки равнодействующей равна разности длин. Масштаб для всех стрелок одного рисунка должен быть одинаковым.

На стенде урока длина одного интервала сетки соответствует 1 Н. Две исходные стрелки немного разнесены по высоте, чтобы не перекрывать друг друга; в модели их линия действия общая. Кнопка «Заменить одной силой» скрывает их и показывает равнодействующую в том же масштабе.

Такое разнесение — только способ чтения схемы. В реальной задаче силы, приложенные по разным параллельным линиям, могут вызывать вращение, даже если их векторная сумма равна нулю.

Как помочь себе знаками

Можно выбрать направление вправо положительным. Тогда направленной вправо силе соответствует положительное число, а направленной влево — отрицательное. Эти числа описывают проекции сил на выбранную ось, а не отрицательные модули.

Сила 7 Н вправо и сила 10 Н влево:

R_x = +7 + (−10) = −3 Н

Минус говорит о направлении влево. Модуль равнодействующей равен 3 Н.

Этот способ удобен для проверки. Но для двух сил достаточно правил суммы и разности. В любом случае записывай и модуль, и направление ненулевого результата.

Почему направление силы не определяет направление скорости

Направление ненулевой равнодействующей совпадает с направлением ускорения. Оно не обязано совпадать с направлением уже имеющейся скорости. Тело может двигаться вправо, когда общий результат сил направлен влево: сначала оно будет замедляться.

По одним силам нельзя определить, куда тело движется в эту секунду. Нужна его скорость в начальный момент и история действия сил. Поэтому корректнее сказать «равнодействующая направлена вправо», чем автоматически заключить «тело уже движется вправо».

В опыте с двумя телами равнодействующая всех сил равна нулю. Первое тело начинает из покоя и остаётся на месте. Второе начинает со скоростью 2 м/с и за 4 с проходит 8 м, не меняя скорости.

s = v₀t = 2 · 4 = 8 м

На льду реальная шайба постепенно замедляется из-за сопротивления. Для выделения главной идеи в учебной модели сопротивлением пренебрегаем.

Те же правила работают по вертикали

Выберем груз на тросе. Земля действует на него вниз силой тяжести, а трос — вверх силой натяжения. Если других сил нет, результат находится как разность этих двух сил.

На странице масса груза 10 кг. Для удобства устного счёта используется приближение g = 10 Н/кг, поэтому сила тяжести равна 100 Н. Это округление; в предыдущем уроке для Земли использовалось 9,8 Н/кг.

При натяжении 100 Н груз может висеть неподвижно, подниматься с постоянной скоростью или опускаться с постоянной скоростью. Это три разных состояния движения при одном и том же равновесии сил.

На странице длины вертикальных стрелок не кодируют величину силы — это обозначено рядом. Числа и расчёт показывают результат. Фото иллюстрирует предметную ситуацию и не является измерительной схемой.

Три задачи с разбором

Кто сильнее тянет тележку?

Две силы направлены противоположно: 0,12 кН вправо и 80 Н влево. Переводим первую: 0,12 кН = 120 Н. Тогда R = 120 − 80 = 40 Н вправо. Вычитать 80 из 0,12 без перевода единиц нельзя.

Какая сила нужна для нулевой равнодействующей?

На тело действует сила 15 Н влево. Единственная вторая сила должна быть 15 Н вправо по той же прямой. Если вторая сила будет 15 Н влево, получится 30 Н влево, а не равновесие.

Что показывает динамометр?

Груз массой 2 кг опускается на вертикальном подвесе равномерно. При g = 10 Н/кг сила тяжести равна 20 Н. Скорость постоянна, значит равнодействующая равна нулю. При отсутствии других сил натяжение подвеса и показание идеального динамометра равны 20 Н, а не нулю.

Типичные ошибки в сложении сил

Всегда складывать числа. Для противоположных сил нужна разность модулей. Перед действием с числами нарисуй направления.

Забывать, на какое тело действует сила. Силы взаимодействия двух тел не уравновешивают друг друга на одном из них: получатели разные.

Прибавлять равнодействующую к исходным силам. Это двойной учёт одного и того же действия. Используй либо набор исходных сил, либо его замену.

Считать R = 0 доказательством покоя. Это условие неизменной скорости. Для вывода о покое нужно знать, что тело первоначально покоилось.

Выводить направление движения из направления силы. Сила определяет изменение скорости. При торможении направление ускорения противоположно скорости.

Путать равновесие двух выбранных сил с равновесием всех сил. Если на тело действует ещё одна неучтённая сила, общий результат может быть ненулевым.

Проверь понимание

6 Н вправо и 2 Н вправо. Чему равна равнодействующая?

8 Н вправо: силы сонаправлены, модули складываются.

6 Н вправо и 2 Н влево. Что изменилось?

Теперь результат равен 4 Н вправо. Направление одной силы изменило и правило расчёта, и ответ.

7 Н влево и 7 Н вправо. Может ли тело двигаться?

Да. Если остальные силы уравновешены, тело может двигаться с постоянной скоростью по прямой.

Книга давит на стол вниз. Какая сила уравновешивает силу тяжести книги?

Сила упругости стола, действующая вверх на книгу. Сила давления книги на стол приложена к столу и в сумму сил на книгу не входит.

Равнодействующая направлена вверх. Значит, груз поднимается?

Не обязательно. Он может ещё двигаться вниз и замедляться. Вверх направлено ускорение.

Учителю: как провести занятие

Начните с двух одинаковых чисел, например 3 Н и 5 Н, и попросите предсказать результат. Затем измените только направление одной силы. Это показывает, зачем к величине силы добавлять направление.

На стенде ученики сначала исследуют свободно, затем решают три цели: получить 10 Н вправо при первой силе 6 Н вправо; оставить 3 Н вправо при первой силе 8 Н вправо; уравновесить 7 Н влево. Ответы второй силы: 4 Н вправо, 5 Н влево, 7 Н вправо. Просите объяснить не только число, но и выбор направления.

Перед опытом при R = 0 соберите предположения: обязательно ли оба тела будут стоять? Запустите сравнение или передвигайте ползунок вручную. Попросите закончить фразу «нулевая равнодействующая означает, что…» словами «скорость не меняется».

Затем перенесите правило на вертикальный трос и разберите разные тела в паре «книга — стол». Для быстрой проверки используйте пять утверждений в конце страницы и два открытых вопроса: «На кого действует сила?» и «Какое направление у результата?»

Практическую демонстрацию можно проводить с лёгкой тележкой и исправными школьными динамометрами в пределах шкалы. Прежде чем сравнивать силы, учтите трение: реальная тележка не является идеальной моделью без сопротивления. Не превращайте опыт в перетягивание с большими нагрузками.

Основная часть рассчитана примерно на одно занятие. Подробный текст, три задачи и отдельный разговор об ошибках можно использовать для подготовки или закрепления. Следующая тема — трение: она объяснит, почему реальные тела часто замедляются.

Материал и границы моделей

Объяснения, примеры и задания написаны для этого урока. Условия учебных моделей указаны рядом со схемами и расчётами.

На основном стенде две силы действуют на одно тело по общей прямой. Диапазон каждой силы 0–10 Н; схема показывает их сложение, а не рассчитывает перемещение тележки. Разнос стрелок по высоте служит чтению, вращение не моделируется.

Опыт движения использует нулевую равнодействующую всех сил и начальные скорости 0 и 2 м/с. На вертикальном стенде приняты m = 10 кг, g = 10 Н/кг, натяжение 0–200 Н; сопротивление воздуха исключено. Результаты этих моделей не извлекаются из изображений.

Иллюстрации созданы генеративной моделью. Это художественные изображения канатов, тележек, буксира, груза и шайбы, а не документальные фотографии и не точные технические чертежи. В частности, канаты на иллюстрации могут быть разнесены; общая линия действия задаётся отдельно в учебной схеме.

Все пять 3D-сцен пока не подключены. Их кнопки открывают пояснение и соответствующий раздел текста. Ползунки, задания и схемы работают без 3D. Анимацию можно отключить; системное предпочтение уменьшенного движения учитывается.