Почему в воде легче?

Давление со всех сторон. Разность сил вверх. Вес вытесненной среды.

Почему погружённый камень легче удерживать

Попробуйте мысленно поднять тяжёлый камень со дна водоёма. Пока он находится под водой, удерживать его легче. Когда камень выходит из воды, нагрузка на руки возрастает. Камень при этом не получает дополнительного вещества: его масса практически не меняется.

Жидкость действует на погружённое тело с силой, направленной вверх. Эта сила частично компенсирует действие силы тяжести. Поэтому для удержания тела требуется меньшая сила со стороны руки, нити или пружины.

В уроке мы исследуем неподвижные тела. Сопротивление жидкости при движении — другое явление: оно зависит от движения тела относительно среды. Выталкивающая сила действует и тогда, когда тело неподвижно.

Почему возникает сила вверх

Жидкость давит на каждую соприкасающуюся с ней поверхность тела. Сила давления направлена перпендикулярно поверхности. Рассмотрим полностью погружённый прямоугольный брусок с горизонтальными верхней и нижней гранями.

На одинаковой глубине давления справа и слева одинаковы. Силы на противоположные боковые грани взаимно компенсируются. Нижняя грань находится глубже верхней. Поэтому давление на неё больше, а направленная вверх сила больше направленной вниз силы на верхнюю грань.

F_А = F_снизу − F_сверху.

Именно эта разность даёт выталкивающую силу. Неверно говорить, что вода давит только снизу: она действует со всех сторон, но не с одинаковой силой.

Для бруска с площадью горизонтальной грани S и высотой h разность сил равна ρ_жg(h₂ − h₁)S = ρ_жghS. Произведение hS — объём бруска. Так мы получаем выражение ρ_жgV. Атмосферные составляющие давления на верхнюю и нижнюю грани взаимно компенсируются.

Что показывает динамометр

Подвесим груз к динамометру и дождёмся покоя. В воздухе прибор показывает силу натяжения подвеса. Если выталкивание воздуха пренебрежимо мало, это значение практически равно mg.

Теперь, не снимая груз с прибора, погрузим его в жидкость. Груз не должен касаться дна и стенок. После прекращения колебаний запишем новое показание. Оно меньше первого.

На неподвижный груз действуют три силы: тяжесть вниз, архимедова сила вверх и натяжение подвеса вверх. Условие равновесия:

T + F_А = mg,
T = mg − F_А.

Масса m осталась прежней. Изменилось натяжение T. В школьном описании это часто называют уменьшением веса тела в жидкости: уменьшилась сила, с которой тело действует на подвес. Это не означает уменьшения силы тяжести.

Вычитая показание в жидкости из показания в воздухе, получаем приближённое значение силы Архимеда в жидкости. Строго эта разность равна разности выталкивающих сил жидкости и воздуха. В опытах с небольшим плотным грузом вклад воздуха обычно гораздо меньше.

Закон Архимеда и вытесненная вода

Если погрузить тело в наполненный до переливного носика сосуд, часть воды вытечет. Объём вытекшей воды равен объёму погружённой части тела. Соберём воду в отдельный стакан и определим её массу, предварительно учтя массу пустого стакана.

Вес собранной воды оказывается равен выталкивающей силе, действующей на груз. В классическом опыте с ведёрком Архимеда собранную воду добавляют в ведёрко, подвешенное вместе с грузом к пружине. Пока груз остаётся погружённым, пружина возвращается к исходному растяжению: вес добавленной воды компенсирует выталкивающую силу.

Закон Архимеда. На тело, погружённое в жидкость или газ, действует направленная вверх сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости или газа.

Для однородной среды:

F_А = m_{вытесненной среды}g = ρ_средыgV_погр.

Здесь ρ — плотность окружающей среды. В жидкости V_погр — объём части тела под её поверхностью. Для тела, целиком окружённого газом, используют весь объём тела. Закон называют именем древнегреческого учёного Архимеда.

Как не ошибиться в единицах

При расчёте в СИ плотность измеряют в килограммах на кубический метр, объём — в кубических метрах, g — в ньютонах на килограмм. Тогда результат получается в ньютонах.

В расчётах этого урока принимаем g ≈ 10 Н/кг. Если в задаче требуется g = 9,8 Н/кг, подставьте именно это значение. Округление должно быть одинаковым на всех этапах решения.

От чего зависит выталкивающая сила

От плотности среды. Один и тот же погружённый объём испытывает большую силу в более плотной жидкости. Например, при объёме 1 л в масле плотностью 800 кг/м³ сила равна 8 Н, в воде — 10 Н, в глицерине плотностью 1260 кг/м³ — 12,6 Н.

От погружённого объёма. Если в воду вошла только половина тела, в формулу подставляют объём этой половины. Пока тело погружается, сила растёт. После полного погружения жёсткого тела его объём под водой больше не увеличивается.

От g. На небесном теле с другим значением g вес вытесненной среды и выталкивающая сила будут другими при одинаковых плотности и объёме.

Масса и плотность самого груза не входят непосредственно в формулу силы Архимеда. Два полностью погружённых тела одинакового внешнего объёма испытывают одинаковую выталкивающую силу в одной жидкости. Однако их силы тяжести и показания динамометров могут различаться.

Почему глубже — не всегда сильнее

В жидкости постоянной плотности давление растёт с глубиной. Но для полностью погружённого жёсткого тела одновременно увеличиваются силы давления сверху и снизу. Их разность остаётся той же.

В интерактиве площадь верхней и нижней граней равна 0,01 м², высота бруска — 0,2 м. При глубине верхней грани 0,2 м силы от добавочного давления воды составляют 20 Н сверху и 40 Н снизу. Разность — 20 Н. При глубине верхней грани 1,2 м получаем 120 Н и 140 Н. Разность снова 20 Н.

Вывод справедлив при неизменных погружённом объёме, плотности жидкости и g. Воздушный пузырёк при погружении сжимается; у него меняется объём. В неоднородной среде может меняться плотность. Поэтому утверждение «сила никогда не зависит от глубины» без условий было бы неверным.

Архимедова сила в газе

Воздух обладает плотностью и создаёт давление. В поле тяжести давление в газе также меняется с высотой. Поэтому тело в воздухе испытывает выталкивающую силу.

При плотности воздуха 1,3 кг/м³ на тело объёмом 1 м³ действует сила около 13 Н, если g ≈ 10 Н/кг. Для тела объёмом 1 л эта сила составляет лишь 0,013 Н. В повседневных измерениях небольших плотных предметов её часто не замечают.

Газовый шар вытесняет большой объём воздуха. Чтобы решить, сможет ли он подняться, нужно сравнить архимедову силу с общей тяжестью газа внутри, оболочки, подвески и груза. Показанные в интерактиве 13 Н на 1 м³ — не допустимый вес полезного груза.

Выталкивание газа можно обнаружить и на весах. Если уравновешенную закрытую лёгкую колбу окружить более плотным газом, её объём не изменится, но выталкивающая сила увеличится. Равновесие нарушится. Это объясняет, почему состояние равновесия весов в воздухе не всегда сохраняется в другой газовой среде.

Разобранная задача: груз в воде

Условие. Масса груза 1 кг. Его полностью погружённый объём 400 см³. Груз удерживают динамометром в воде, не касаясь дна. Найдите силу Архимеда и показание прибора. Плотность воды 1000 кг/м³; g = 10 Н/кг.

1. Перевод объёма: 400 см³ = 0,0004 м³.

2. Выталкивающая сила: F_А = 1000 · 10 · 0,0004 = 4 Н.

3. Сила тяжести: mg = 1 · 10 = 10 Н.

4. Натяжение: T = 10 − 4 = 6 Н.

Ответ: 4 Н и 6 Н. Масса остаётся равной 1 кг. Вытеснено 400 мл воды массой 0,4 кг; её вес равен 4 Н.

Типичные ошибки

• «Вода уменьшила массу». Вода добавила силу вверх. Количество вещества в грузе не изменилось.
• Подставлять плотность металла вместо плотности жидкости. Закон использует массу вытесненной среды.
• Всегда брать полный объём. При частичном погружении нужен только объём под поверхностью.
• Измерять силу в килограммах. Килограмм — единица массы; ньютон — единица силы.
• Считать показание прибора самой силой Архимеда. Прибор показывает натяжение. Силу Архимеда находят из разности с силой тяжести при оговорённых условиях.
• Забывать про опору. Если груз касается дна, на него действует дополнительная сила. Простая формула T = mg − F_А уже не описывает все силы.

Обычное применение закона предполагает, что среда обтекает погружённую поверхность. Случай плотного прилипания тела к дну без доступа жидкости снизу требует отдельного разбора.

Проверь себя

1. В воде полностью погружено тело объёмом 200 см³. Найдите выталкивающую силу.
2. В воздухе динамометр показывает 8 Н, в воде — 5 Н. Оцените силу Архимеда, пренебрегая выталкиванием воздуха.
3. Тело вытеснило 0,6 л масла плотностью 800 кг/м³. Чему равна сила Архимеда?
4. Половина тела объёмом 2 л находится под водой. Какой объём нужно подставить в формулу?
5. Два сплошных тела одинакового объёма сделаны из разных материалов и полностью погружены в воду. Равны ли силы Архимеда?

Ответы и ход решения

Во всех задачах g = 10 Н/кг. 1) 1000 · 10 · 0,0002 = 2 Н. 2) 8 − 5 = 3 Н. 3) 800 · 10 · 0,0006 = 4,8 Н. 4) 1 л = 0,001 м³. 5) Да, если тела окружены одной и той же водой, не касаются опор и их объёмы неизменны.

Учителю: последовательность занятия

Начните с прогноза: «Если груз опустить в воду, что изменится — масса, тяжесть или натяжение?» Попросите учеников объяснить выбор до работы с ползунками.

В первом опыте изменяйте только долю погружения. Затем зафиксируйте полное погружение и заменяйте жидкость. Обсудите, почему для честного сравнения нужно сохранять остальные условия. В модели масса всегда 3 кг, а объём и среда задаются отдельно: это серия разных грузов одной массы, а не превращение одного металлического груза без изменения материала.

На схеме давления сначала сравните верхнюю и нижнюю силы. После этого переместите весь брусок глубже. Пусть ученики сами заметят, что растут обе силы, но их разность постоянна. Вернитесь к условиям: жёсткое тело полностью погружено, плотность жидкости постоянна.

Проведите опыт с небольшим грузом, динамометром и водой. Запишите показание в воздухе, затем в воде; груз не должен опираться на дно. При работе с переливным сосудом заранее заполните его до носика и дождитесь прекращения капель. Массу собранной воды определяйте с учётом массы пустого стакана. Из-за капель, смачивания и точности приборов результаты могут немного расходиться.

В завершение предложите задачу про газовый шар: почему сила воздуха не равна допустимому весу полезного груза? Условия плавания, погружения и всплытия станут следующей темой; здесь главное — происхождение и величина выталкивающей силы.